已知一个信号的DTFT为X(e^jw)=1-0.2e^-jw+0.35e^-j2w,求该信号的8点DFT的幅度和相位
时间: 2024-04-27 16:21:05 浏览: 11
好的,根据上面的公式,我们可以先把DTFT表达式代入,得到:
X[k] = 1/8 * sum(X(e^(jw)) * e^(-j2*pi*k*n/8), n=0~7)
= 1/8 * sum((1 - 0.2e^-jw + 0.35e^-j2w) * e^(-j2*pi*k*n/8), n=0~7)
接下来,我们可以按照以下步骤来计算:
1. 把e^-jw和e^-j2w表示为复数形式:
e^-jw = cos(w) - j*sin(w)
e^-j2w = cos(2w) - j*sin(2w)
2. 把上面的公式代入,得到:
X[k] = 1/8 * sum((1 - 0.2(cos(w) - j*sin(w)) + 0.35(cos(2w) - j*sin(2w))) * e^(-j2*pi*k*n/8), n=0~7)
3. 展开求和式,并把实部和虚部分开:
X[k] = 1/8 * [ (1 - 0.2cos(w) + 0.35cos(2w)) * sum(cos(2*pi*k*n/8))
+ (0.2sin(w) - 0.35sin(2w)) * sum(sin(2*pi*k*n/8)) ]
- j/8 * [ (1 - 0.2cos(w) + 0.35cos(2w)) * sum(sin(2*pi*k*n/8))
+ (0.2sin(w) - 0.35sin(2w)) * sum(cos(2*pi*k*n/8)) ]
4. 计算求和式:
对于cos函数的求和式,有:
sum(cos(2*pi*k*n/8)) = 1 + cos(pi*k/4) + cos(pi*k/2) + cos(3*pi*k/4)
对于sin函数的求和式,有:
sum(sin(2*pi*k*n/8)) = sin(pi*k/4) + sin(pi*k/2) - sin(3*pi*k/4)
5. 代入求和式,得到:
X[k] = 1/8 * [ (1 - 0.2cos(w) + 0.35cos(2w)) * (4 + 2*cos(pi*k/4))
+ (0.2sin(w) - 0.35sin(2w)) * (2*sin(pi*k/4) + 2*sin(pi*k/2) - 2*sin(3*pi*k/4)) ]
- j/8 * [ (1 - 0.2cos(w) + 0.35cos(2w)) * (2*sin(pi*k/4) + 2*sin(pi*k/2) - 2*sin(3*pi*k/4))
+ (0.2sin(w) - 0.35sin(2w)) * (4 + 2*cos(pi*k/4)) ]
6. 计算幅度和相位:
幅度:|X[k]| = sqrt(Re(X[k])^2 + Im(X[k])^2)
相位:arg(X[k]) = atan2(Im(X[k]), Re(X[k]))
其中,Re(X[k])和Im(X[k])分别表示X[k]的实部和虚部。
将上面的式子代入计算,可以得到信号的8点DFT的幅度和相位。