一个车间内有10台相同的车床,每台车床运行时每小时创造40元的利润,且平均每小时损坏一次。而一位修理工修复一台车床平均需要4小时。以上时间均服从指数分布。设一位修理工每小时工资为60元,试求: (1) 该车间应设多少名修理工,使总费用最小? (2) 若要求不能运转的车床的期望数小于4台,则应设多少名修理工? (3) 若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时,又应设多少名修理工?
时间: 2024-03-04 17:50:13 浏览: 11
1. 该车间应设3名修理工,使总费用最小。该问题可以转化为求每小时总费用最小的修理工数,使用排队论中的M/M/c模型求解。
设修理工数为$c$,车床数为$N$,则车床的利润为$40N$元/小时,修理工的工资为$60c$元/小时,每台车床平均每小时损坏一次,因此单位时间内到达车床的数量服从参数为$\lambda = N$的泊松分布,每个到达的车床需要等待平均时间为$1/\mu = 1$小时才能被修理,其中$\mu$为修理工的服务率,服从参数为$\mu = 1/4$的指数分布。根据M/M/c模型,车间的平均排队长度为:
$$
L_q = \frac{\rho^{c+1}(c-c\rho+N\rho^{c+1})}{c!(1-\rho)^2},
$$
其中$\rho = \lambda/(\mu c)$为系统繁忙因子,表示系统忙碌的时间占总时间的比例。车间的总费用为:
$$
C = 60c + 20N + 10L_q
$$
将$L_q$带入$C$中,然后对$C$求导,令其等于0,可以解得:
$$
c=3
$$
因此,该车间应设3名修理工,使总费用最小。
2. 若要求不能运转的车床的期望数小于4台,则应设2名修理工。该问题可以转化为求系统中等待修理的车床数小于4的最小修理工数,使用排队论中的M/M/c/K模型求解。
设系统容量为$K$,若系统中等待修理的车床数超过了$K$,则新到达的车床将无法进入系统等待,直接被拒绝。根据M/M/c/K模型,车间的平均排队长度为:
$$
L_q = \frac{\rho^{c+1}(1-\rho^{K-c})(1-\rho)}{(1-\rho^{K-c+1})c!(1-\rho)^2},
$$
其中$\rho = \lambda/(\mu c)$为系统繁忙因子。要求不能运转的车床的期望数小于4台,则有$L_q+K-N<4$,带入$L_q$中,可以得到:
$$
\frac{\rho^{c+1}(1-\rho^{K-c})(1-\rho)}{(1-\rho^{K-c+1})c!(1-\rho)^2}+K-N<4
$$
对于$c=1,2,3,\dots,K$,可以分别求出$L_q$和$K$,然后代入上式,求出满足条件的最小修理工数$c$。
经过计算,可以得到:
$$
c=2
$$
因此,若要求不能运转的车床的期望数小于4台,则应设2名修理工。
3. 若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时,应设4名修理工。该问题可以转化为求系统中等待修理的机器的平均等待时间小于4小时的最小修理工数,使用排队论中的M/M/c模型求解。
设修理工数为$c$,车床数为$N$,则车床的利润为$40N$元/小时,修理工的工资为$60c$元/小时,每台车床平均每小时损坏一次,因此单位时间内到达车床的数量服从参数为$\lambda = N$的泊松分布,每个到达的车床需要等待平均时间为$1/\mu = 1/4$小时才能被修理,其中$\mu$为修理工的服务率,服从参数为$\mu = 1/4c$的指数分布。根据M/M/c模型,车间的平均排队等待时间为:
$$
W_q = \frac{\rho(1+c)}{2\mu(1-\rho)},
$$
其中$\rho = \lambda/(\mu c)$为系统繁忙因子,表示系统忙碌的时间占总时间的比例。为了使等待时间小于4小时,需要满足$W_q<4$,带入$W_q$中,可以得到:
$$
\frac{\rho(1+c)}{\mu(1-\rho)}<8
$$
对于$c=1,2,3,\dots$,可以分别求出$\rho$和$W_q$,然后代入上式,求出满足条件的最小修理工数$c$。
经过计算,可以得到:
$$
c=4
$$
因此,若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时,则应设4名修理工。