楼梯有n(71>n>0)阶台阶,上楼时可以一步上1阶,也可以一步上2阶,也可以一步上3阶，编程计算共有多少种不同的走法。

### 回答1：
这道题目可以使用递归的方法来解决。

当楼梯只有1阶台阶时，只有一种走法；当楼梯有2阶台阶时，有两种走法；当楼梯有3阶台阶时，有四种走法。

对于楼梯有n阶台阶的情况，可以分为三种情况：

1. 第一步上1阶台阶，剩下的n-1阶台阶有f(n-1)种走法；

2. 第一步上2阶台阶，剩下的n-2阶台阶有f(n-2)种走法；

3. 第一步上3阶台阶，剩下的n-3阶台阶有f(n-3)种走法。

因此，楼梯有n阶台阶的不同走法数为f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)。

最终，当楼梯有1阶、2阶、3阶台阶时，分别有1、2、4种不同的走法。

下面是Python代码实现：

def count_ways(n):
if n == 1:
return 1
elif n == 2:
return 2
elif n == 3:
return 4
else:
return count_ways(n-1) + count_ways(n-2) + count_ways(n-3)

n = int(input("请输入楼梯的阶数："))
ways = count_ways(n)
print("楼梯有%d阶台阶时，共有%d种不同的走法。" % (n, ways))

### 回答2：
这道题目可以使用递归的方法进行求解。假设有 $f(n)$ 种不同的走法来到第 $n$ 阶台阶，则有以下几种情况：

1. 当最后一次跨上一步台阶时，之前则应从第 $n-1$ 阶台阶走上来，共有 $f(n-1)$ 种走法；
2. 当最后一次跨上二步台阶时，之前则应从第 $n-2$ 阶台阶走上来，共有 $f(n-2)$ 种走法；
3. 当最后一次跨上三步台阶时，之前则应从第 $n-3$ 阶台阶走上来，共有 $f(n-3)$ 种走法。

综上所述，$f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)$。同时需要考虑一下特殊情况：

1. 当 $n = 1$ 时，无论如何只能一步走上来，故 $f(1) = 1$；
2. 当 $n = 2$ 时，有两种情况：一步一步走上来或者一次性跨两步上来，故 $f(2) = 2$；
3. 当 $n = 3$ 时，有四种情况：一步一步走上来、一步两步走上来、两步一步走上来或者一次性跨三步上来，故 $f(3) = 4$。

将上述递推公式和特殊情况带入程序中即可实现计算。

以下是一份 Python 代码实现：

def count_ways(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    elif n == 3:
        return 4
    else:
        return count_ways(n-1) + count_ways(n-2) + count_ways(n-3)

n = int(input("请输入台阶数："))
print("共有 %d 种不同的走法。" % count_ways(n))

输入台阶数后，程序会输出总共有多少种不同的走法。需要注意的是，当 $n$ 较大时，递归计算会非常耗时，因此需要特别注意优化算法。

### 回答3：
首先，我们可以列出递推式f(n)表示爬n阶楼梯的不同走法数目：
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)
其中，f(n-1)表示从n-1阶楼梯到达n阶楼梯的走法数目，f(n-2)表示从n-2阶楼梯到达n阶楼梯的走法数目，f(n-3)表示从n-3阶楼梯到达n阶楼梯的走法数目。
当n为1、2、3时，因为没有足够的阶数，只有一种走法，即一步一阶、两阶、三阶。
根据递推式，我们可以通过动态规划的思想，从小到大计算f(1)到f(n)。在每一步计算f(i)时，只需要用到f(i-1)、f(i-2)、f(i-3)三个值，因此可以使用三个变量分别记录这三个值，以节省空间。
最终，f(n)即为所求的走法数目。在计算过程中，需要注意处理边界条件和数据类型溢出等问题，以保证结果正确。