Matlab 最小二乘法拟合二次曲线的代码实现

假设有一组数据 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$，要用二次曲线 $y=a_0+a_1x+a_2x^2$ 对其进行拟合，可以使用 Matlab 的 polyfit 函数。

代码如下：

% 定义数据
x = [x1, x2, ..., xn];
y = [y1, y2, ..., yn];

% 用 polyfit 函数拟合二次曲线
p = polyfit(x, y, 2); % 2 表示拟合的多项式次数为 2

% 输出拟合结果
a0 = p(3);
a1 = p(2);
a2 = p(1);

其中，p(1)、p(2)、p(3) 分别表示二次项系数 $a_2$、一次项系数 $a_1$、常数项 $a_0$。

拟合结果可以用以下代码进行绘图：

% 绘制原始数据点
plot(x, y, 'o');

% 绘制拟合曲线
xx = linspace(min(x), max(x), 1000); % 生成一组等间距的 x 值
yy = polyval(p, xx); % 用 polyval 函数计算对应的 y 值
hold on;
plot(xx, yy);

相关问题

Matlab 最小二乘法拟合二次曲线的代码实现（不使用Matlab 内部函数polyfit)

如果不使用 Matlab 内部的 polyfit 函数，可以使用最小二乘法的公式来手动计算二次曲线的系数。具体步骤如下：

1. 构造系数矩阵 $A$ 和常数矩阵 $b$：

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\
1 & x_2 & x_2^2 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
1 & x_n & x_n^2
\end{bmatrix},
\quad
b = \begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\cdots \\
y_n
\end{bmatrix}
$$

2. 计算系数矩阵的转置 $A^T$ 和 $A$ 的乘积 $A^TA$，以及 $A^T$ 和常数矩阵的乘积 $A^Tb$：

$$
A^TA = \begin{bmatrix}
n & \sum x_i & \sum x_i^2 \\
\sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3 \\
\sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4
\end{bmatrix},
\quad
A^Tb = \begin{bmatrix}
\sum y_i \\
\sum x_iy_i \\
\sum x_i^2y_i
\end{bmatrix}
$$

3. 解线性方程组 $A^TAx = A^Tb$，得到二次曲线系数 $a_0, a_1, a_2$。

Matlab 代码如下：

% 构造系数矩阵 A 和常数矩阵 b
n = length(x);
A = [ones(n, 1), x', x'.^2];
b = y';

% 计算 A^TA 和 A^Tb
ATA = A' * A;
ATb = A' * b;

% 解线性方程组
coeffs = ATA \ ATb;

% 提取系数
a0 = coeffs(1);
a1 = coeffs(2);
a2 = coeffs(3);

拟合结果可以用以下代码进行绘图：

% 绘制原始数据点
plot(x, y, 'o');

% 绘制拟合曲线
xx = linspace(min(x), max(x), 1000); % 生成一组等间距的 x 值
yy = a0 + a1 * xx + a2 * xx.^2;
hold on;
plot(xx, yy);

matlab 最小二乘法拟合二次函数

假设有一组数据点 $(x_i, y_i)$，我们要用最小二乘法拟合一个二次函数 $y=a x^2+b x+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是待求的参数。

最小二乘法的思路是，使拟合函数与数据点的误差平方和最小。即，定义误差函数 $E=\sum_i (y_i - a x_i^2 - b x_i - c)^2$，我们要找到使 $E$ 最小的 $a$、$b$、$c$。

为了求解 $a$、$b$、$c$，我们可以对 $E$ 分别对 $a$、$b$、$c$ 求偏导数，并令偏导数为 0，得到三个方程：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial E}{\partial a}=2\sum_i (y_i-ax_i^2-bx_i-c)(-x_i^2)&=0 \\
\frac{\partial E}{\partial b}=2\sum_i (y_i-ax_i^2-bx_i-c)(-x_i)&=0 \\
\frac{\partial E}{\partial c}=2\sum_i (y_i-ax_i^2-bx_i-c)(-1)&=0
\end{aligned}
$$

将 $a$、$b$、$c$ 的解代入二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 中，就得到了最小二乘法拟合的二次函数。

在 MATLAB 中，可以使用 polyfit 函数实现最小二乘法拟合。具体方法如下：

假设有数据点 $(x_i, y_i)$ 存储在两个向量 x 和 y 中，要拟合的二次函数为 $y=a x^2+b x+c$，可以使用以下代码求解 $a$、$b$、$c$：

p = polyfit(x, y, 2); % 拟合二次函数
a = p(1);
b = p(2);
c = p(3);

其中，第一个参数是 x 向量，第二个参数是 y 向量，第三个参数是拟合函数的次数，这里设为 2。拟合结果存储在向量 p 中，第一个元素是 $a$，第二个元素是 $b$，第三个元素是 $c$。

拟合结果可以用 polyval 函数在一定范围内计算函数值，例如：

x_fit = linspace(min(x), max(x), 100); % 生成 100 个 x 值
y_fit = polyval(p, x_fit); % 计算对应的 y 值
plot(x, y, 'o', x_fit, y_fit); % 绘制数据点和拟合曲线

其中，第一个参数是生成 x 值的范围，第二个参数是拟合函数的系数向量。生成的 x 值存储在向量 x_fit 中，计算出的 y 值存储在向量 y_fit 中。最后用 plot 函数绘制数据点和拟合曲线。