用具体数值建立投资组合实际应用中的二次规划模型

假设我们有 $n$ 种资产可以进行投资，每个资产的期望收益率和风险率如下：

| 资产 | 期望收益率 | 风险率 |
| :--: | :--------: | :----: |
| A | 0.05 | 0.10 |
| B | 0.10 | 0.15 |
| C | 0.08 | 0.13 |
| D | 0.12 | 0.18 |
| E | 0.07 | 0.12 |

假设投资组合的风险约束条件为 $b=0.15$，即投资组合的风险率不能超过 $0.15$。

我们可以将期望收益率和风险率分别表示为向量 $r$ 和 $\sigma$，有：

$$
r = \begin{bmatrix}0.05 \\ 0.10 \\ 0.08 \\ 0.12 \\ 0.07\end{bmatrix}, \quad \sigma = \begin{bmatrix}0.10 \\ 0.15 \\ 0.13 \\ 0.18 \\ 0.12\end{bmatrix}
$$

同时，我们可以计算出资产间的协方差矩阵 $Q$，有：

$$
Q = \begin{bmatrix}0.01 & 0.005 & 0.007 & 0.008 & 0.004 \\ 0.005 & 0.0225 & 0.0105 & 0.018 & 0.0075 \\ 0.007 & 0.0105 & 0.0169 & 0.0126 & 0.0096 \\ 0.008 & 0.018 & 0.0126 & 0.0324 & 0.0108 \\ 0.004 & 0.0075 & 0.0096 & 0.0108 & 0.0144\end{bmatrix}
$$

其中，$Q_{i,j}$ 表示资产 $i$ 和资产 $j$ 的协方差。

根据上述信息，我们可以建立投资组合的二次规划模型，有：

$$
\begin{aligned}
\min_{w} & \quad \frac{1}{2}w^T Q w - r^T w \\
\text{s.t.} & \quad w^T \mathbf{1} = 1 \\
& \quad w^T \sigma \geq 0.15 \\
\end{aligned}
$$

其中，$w$ 是一个 $n$ 维权重向量，表示投资组合中每种资产的占比。我们的目标是最小化投资组合的方差，同时满足投资组合的风险约束条件。