6-15 递归计算p函数 (10 分)

### 回答1：
p函数的递归计算公式如下：

当n < m时，p(n, m) = ；

当n = m时，p(n, m) = 1；

当n > m时，p(n, m) = p(n-m, m) + p(n-1, m-1)。

其中，n和m均为正整数。

根据这个公式，我们可以使用递归的方式来计算p函数的值。当n < m时，直接返回；当n = m时，直接返回1；当n > m时，根据公式递归计算p(n-m, m)和p(n-1, m-1)，然后将它们相加即可得到p(n, m)的值。

需要注意的是，递归计算p函数时可能会出现栈溢出的问题，因此需要设置递归深度的限制或者使用非递归的方式来计算。

### 回答2：
题目简介

本题要求计算 P — 函数，公式定义如下：

其中 P（n，m）表示一个n * m的网格中，从左上角走到右下角的所有路径中，经过点 (n-1, k) 的路径总数。 其中 k是在中间行左边的第一个点。

题目分析

这是一道递归题目，由于递归函数要求必须返回一个值，所以我们需要为这个函数设定返回值。根据定义，递归要求我们将P（n, m）分解为P（n-1, m）和P（n-1, m-1）的和。

1. 递归终止条件：

当 n = 1 或 m = 1 时，存在只有一种途径穿过网格且经过该特定点，即P（1，m）= 1，P（n,1）= 1。

2. 递归步骤：

根据P（n，m）的定义，它是由P（n-1，m）和P（n-1，m-1）的和组成的。因此，我们只需要通过递归计算这两个部分并返回它们的和。

3. 实现递归函数:

下面是使用递归解决P（n，m）问题的函数：

def p(n, m):
    if n == 1 or m == 1:
        return 1
    else:
        return p(n-1, m) + p(n-1, m-1)

这段代码首先检查n和m是否满足我们的一种终止条件，如果是，递归就停止，函数返回1。否则，根据递归定义，该函数计算P（n-1，m）和P（n-1，m-1）的和并返回。

例如：p（6,15）= P（5,15）+ P（5,14）。

这种递归方法具有许多优点。它相对较简单，并且不需要任何其他变量。但是，当n或m的值很大时，它的计算会变得非常缓慢，因为计算p（n，m）的时间为2的n-1次方。此外，它可能会导致内存溢出错误，因为计算p（n，m）可能涉及大量的子问题。

### 回答3：
6-15 递归计算p函数（10分）是一道计算题目，主要考察递归思想和数学能力。

题目中给出的p函数定义如下：

p(n, m) = 1 (当n == 1或m == 1时)

p(n, m) = p(n, m-1) + p(n-m, m) (当n>1且m>1时)

从题目中可以看出，p函数的计算需要用到递归的思想，递归是一种解决问题的方法，可以将问题分解成小问题然后逐步解决，最终得到问题的解。

在这道题目中，当n==1或m==1时，p函数的值为1，这是递归终止的条件，也就是说，当n或m为1时，递归不再进行，函数返回1。

当n>1且m>1时，p函数的值需要用前面的p值来计算，这里用到了p(n,m-1)和p(n-m,m)，这两个数都是相对于p(n,m)来说规模更小的问题，可以通过递归调用p函数来解决。

实现p函数的递归算法可以使用如果...否则语句来实现条件执行，如下所示：

if n == 1 或者 m == 1 then
    p(n, m) = 1
否则
    p(n, m) = p(n, m-1) + p(n-m, m)
结束

在代码实现递归算法时，需要注意递归出口的判断和边界条件处理，以及避免递归深度过大导致运行效率低下的问题。

总之，通过深入理解递归的思想和p函数的定义，掌握递归求解p函数的方法，可以提高数学计算和算法设计的能力，有助于在计算领域中更好地探索和应用递归思想。