利用PINN求解非线性微分方程

基于物理不变量神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）是一种新兴的数值求解方法，它结合了深度学习和偏微分方程的知识。对于非线性微分方程的求解，PINNs通过构造一个神经网络模型，使其同时满足边界条件、初始条件以及方程本身的解析形式。这种方法不需要像传统网格方法那样生成复杂的网格结构，而是直接对未知函数及其导数进行近似。

具体步骤如下：
1. **构建网络**：定义一个包含输入变量的多层神经网络，用于逼近方程中的未知函数。
2. **损失函数**：设置两个部分损失：一部分是数据残差，反映神经网络预测值是否满足方程；另一部分是边界/初始条件误差，确保网络结果符合给定的边界或初始值。
\[ L = \alpha L_{eq} + (1 - \alpha) L_{bc} \]
\( L_{eq}\)对应方程误差，\( L_{bc}\)对应边界/初始条件误差，\(\alpha\)是平衡这两部分权重的超参数。
3. **训练**：使用反向传播优化算法（如梯度下降法）最小化总损失函数，调整神经网络参数，使得方程和边界条件得到满足。
4. **验证和预测**：训练完成后，可以使用测试样本检查模型的泛化能力，并用于实际的未知点预测。