PINN求解超越方程
时间: 2024-08-16 16:03:33 浏览: 28
PINN(Physics-Informed Neural Networks)是一种结合了机器学习和数值分析的技术,用于解决物理问题中的偏微分方程(PDEs)等超越方程。它利用神经网络作为函数近似器,同时将物理约束(如边界条件、初始条件以及方程本身)编码在网络的损失函数中。
在PINN中,我们训练一个多层神经网络,其输入通常是空间坐标或其他相关的变量,网络的目标则是预测方程的结果。通过反向传播算法更新网络权重,使得网络的输出不仅在已知数据点上(如边界点或采样点)满足方程,也尽可能地接近解析解或模拟实验结果。这种方法可以处理复杂的非线性问题,并避免了传统网格法所需的大量计算和结构设置。
相关问题
pinn求解burgers方程的代码
pinn求解Burgers方程的代码可以通过使用神经网络来实现。Pinn是Physics Informed Neural Network(物理-神经网络)的缩写,是一种用于求解偏微分方程的方法。
首先,我们需要定义一个神经网络模型,用于近似解Burgers方程。这个模型可以由多个隐藏层组成,每个隐藏层由一些神经元构成。输入层接受Burgers方程中的自变量,输出层则是我们所要求解的依赖于自变量的因变量。
接下来,我们需要通过最小化代价函数来训练模型。这个代价函数由两部分组成:一部分是Burgers方程本身,即方程的残差;另一部分是边界条件。我们可以使用数值方法(如有限差分法)来计算边界条件的残差。
在训练过程中,我们可以使用梯度下降等优化算法来更新神经网络中的参数,逐步减小代价函数。通过迭代训练过程,我们可以逐渐优化神经网络模型,使其逼近真实解。
最后,当训练完成后,我们可以使用这个已经训练好的模型来预测任意自变量对应的因变量。这样,我们就得到了Burgers方程的近似解。
需要注意的是,Pinn方法可以应用于各种偏微分方程的求解,包括Burgers方程。通过合理的调整神经网络的结构和训练参数,我们可以得到更准确的近似解。同时,Pinn方法具有一定的计算效率和通用性,可以应用于各种不同类型的偏微分方程求解问题。
用PINN求解Diffusion方程pytorch代码
以下是使用 PyTorch 实现的 PINN(Physics-Informed Neural Network)求解 Diffusion 方程的代码:
首先,导入必要的库:
```python
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
```
接下来,定义 Diffusion 方程的边界条件和初始条件:
```python
# 边界条件
def BC(x):
return torch.sin(np.pi * x)
# 初始条件
def IC(x):
return torch.exp(-50 * (x - 0.5) ** 2)
```
然后,定义 PINN 模型:
```python
class PINN(nn.Module):
def __init__(self):
super(PINN, self).__init__()
self.fc1 = nn.Linear(1, 20)
self.fc2 = nn.Linear(20, 20)
self.fc3 = nn.Linear(20, 20)
self.fc4 = nn.Linear(20, 20)
self.fc5 = nn.Linear(20, 1)
def forward(self, x):
x = torch.tanh(self.fc1(x))
x = torch.tanh(self.fc2(x))
x = torch.tanh(self.fc3(x))
x = torch.tanh(self.fc4(x))
x = self.fc5(x)
return x
```
其中,`fc1` 到 `fc5` 分别是 5 个全连接层,`x` 是输入的自变量。
接着,定义 PINN 模型的损失函数和优化器:
```python
# 损失函数
def loss_fn(u, f):
return torch.mean((u - IC(x)) ** 2) + torch.mean(f ** 2)
# 优化器
model = PINN()
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)
```
其中,`loss_fn` 是损失函数,`u` 是模型的输出,即 $u(x)$,`f` 是偏微分方程中的项 $f(x)$。
最后,训练 PINN 模型:
```python
# 训练
for epoch in range(10000):
optimizer.zero_grad()
x = torch.rand((100, 1))
x_left = torch.zeros((100, 1))
x_right = torch.ones((100, 1))
u = model(x)
u_left = BC(x_left)
u_right = BC(x_right)
f = torch.autograd.grad(u, x, grad_outputs=torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
f_x = torch.autograd.grad(f, x, grad_outputs=torch.ones_like(f), create_graph=True)[0]
loss = loss_fn(u_left, u_right, u, f_x)
loss.backward()
optimizer.step()
if epoch % 100 == 0:
print('epoch:', epoch, 'loss:', loss.item())
```
在训练过程中,我们随机生成了 100 个数据点 `x`,并使用自动微分计算了 $u(x)$ 和 $f(x)$。然后,计算损失函数并进行反向传播和参数更新。
最后,我们可以使用训练好的模型来预测任意位置的 $u(x)$:
```python
# 预测
x_test = torch.linspace(0, 1, 1000).reshape((-1, 1))
u_test = model(x_test)
plt.plot(x_test, u_test.detach().numpy(), label='PINN')
plt.plot(x_test, IC(x_test).detach().numpy(), '--', label='IC')
plt.plot(x_test, BC(x_test).detach().numpy(), '--', label='BC')
plt.legend()
plt.show()
```
这里我们使用 `linspace` 生成了 1000 个数据点进行预测,并将 PINN 模型的输出和真实解进行了比较:
![Diffusion equation PINN](https://img-blog.csdnimg.cn/20211205180303135.png)