如何用C++编程来计算给定平面方程ax+by+cz+d=0沿着其法线向量移动距离L后的新平面方程？

在C++编程中，如果你有一个平面方程 \( ax + by + cz + d = 0 \)，这个平面由三维空间中的三个坐标轴的直线交叉点定义，其中 \( a、b\) 和 \( c \) 分别对应于X、Y和Z轴的方向系数。要计算该平面沿其法线向量移动距离 \( L \) 后的新平面方程，你需要先找到原平面的法线向量，然后应用平移公式。

法线向量是通过系数 \( a、b、c \) 求得的单位向量，即 \( N = \frac{[a, b, c]}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)。一旦得到法线向量，你可以使用向量加法来确定新的起点 \( P_0 + LN \)（\( P_0 \) 是原平面的一个点，\( L \) 是距离，\( N \) 是法线）。然后，新平面过这个新点，并且仍然是原来方向的直线，所以它的方程可以表示为：

\[ a(x - (P_0.x + LN.x)) + b(y - (P_0.y + LN.y)) + c(z - (P_0.z + LN.z)) = 0 \]

这里的 \( (P_0.x, P_0.y, P_0.z) \) 是你选择作为参考点的点的坐标。

以下是简单的伪代码示例：

#include <iostream>
#include <cmath>

// 定义函数求法线向量
std::vector<double> getNormal(double a, double b, double c) {
    std::vector<double> normal = {a, b, c};
    double magnitude = sqrt(a * a + b * b + c * c);
    if (magnitude != 0) {
        for (int i = 0; i < 3; ++i)
            normal[i] /= magnitude;
    }
    return normal;
}

// 定义函数计算移动后的平面方程
std::string movePlane(double a, double b, double c, double d, double L, double x0, double y0, double z0) {
    std::vector<double> normal = getNormal(a, b, c);
    double LX = L * normal[0];
    double LY = L * normal[1];
    double LZ = L * normal[2];

    double newX = x0 + LX;
    double newY = y0 + LY;
    double newZ = z0 + LZ;

    // 构造新的平面方程
    return "a(x - " + std::to_string(newX) + ") + b(y - " + std::to_string(newY) + ") + c(z - " + std::to_string(newZ) + ") = " + std::to_string(-d);
}

int main() {
    double a = 1.0, b = 2.0, c = 3.0, d = 4.0, L = 5.0;
    double x0 = 0.0, y0 = 0.0, z0 = 0.0; // 可以替换为任意点

    std::string newEquation = movePlane(a, b, c, d, L, x0, y0, z0);
    std::cout << "原平面方程: ax + by + cz + d = 0\n";
    std::cout << "移动后的平面方程: " << newEquation << "\n";

    return 0;
}