求曲线 y=x²+2x+1 在点x=1处的切线方程和法线方程,直接出题目的过程 不用详细介绍 干净整洁的列出全过程
时间: 2024-03-15 13:42:07 浏览: 147
曲线 y=x²+2x+1 的导数为 y'=2x+2,代入 x=1 得到导数斜率为 4,因此曲线在点 x=1 处的切线斜率为 4。同时,曲线在点 x=1 处的纵坐标为 y=4,因此切线方程为 y=4x-3。由于切线斜率为正,所以法线斜率为 -1/4,且法线经过点 (1,4),因此法线方程为 y=-1/4x+5/4。
相关问题
曲线x=arctant y=ln根号1+t^2上对应于t=1的点处的法线方程
首先,求出曲线在$t=1$处的点坐标$(x_0,y_0)$。将$t=1$代入$x=\arctan{t}$和$y=\ln\sqrt{1+t^2}$中,得到$x_0=\frac{\pi}{4}$和$y_0=0$。
接下来,求出曲线在$t=1$处的斜率$k$。由于法线垂直于曲线,因此法线的斜率$k_n$等于曲线在该点处的斜率$k$的相反数的倒数,即$k_n=-\frac{1}{k}$。对于曲线$x=\arctan{t}$和$y=\ln\sqrt{1+t^2}$,可以通过求导来求得其斜率:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{2t}{1+t^2} = \frac{2t}{(1+t^2)^2}$$
在$t=1$处,曲线的斜率$k$为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。因此,法线的斜率$k_n=-\frac{1}{k}=-2$。
最后,根据点斜式可得,法线方程为:
$$y - y_0 = k_n(x - x_0) \Rightarrow y = -2(x-\frac{\pi}{4})$$
因此,曲线$x=\arctan{t}$和$y=\ln\sqrt{1+t^2}$在$t=1$处的法线方程为$y=-2(x-\frac{\pi}{4})$。
、曲线 3 x t 1 y t 在t 2处的切线方程与法线方程
曲线 3 x t 1 y t 在 t=2 处的切线的斜率为 3,所以切线的方程为 y = 3(x - 2) + 1。法线的斜率为 -1/3,所以法线的方程为 y = -1/3(x - 2) + 1。
在这里,"切线"指的是一条经过曲线上某一点的直线,与曲线在这一点处的切线平行。"法线"指的是一条经过曲线上某一点的直线,与曲线在这一点处的切线垂直。