设fij表示从i出发在n步转移时首次到达j的概率,试证明pij=fijpij
时间: 2023-12-13 18:01:01 浏览: 62
设fij表示从i出发在n步转移时首次到达j的概率,则有fij = Σk≠j pikfik,其中pik表示从i到k的转移概率。我们要证明pij=fij/pji。
首先,我们知道从i出发在第一步转移到j的概率为pij,而在第n步到达j的概率可以表示为fij,则有fij = Σk≠j pikfik,将其展开得到fij = pi1fi1 + pi2fi2 + ... + pinfin,并且fji = pj1fj1 + pj2fj2 + ... + pjnfnj。
因此,我们有pijfji = pi1f1j + pi2f2j + ... + pinfnj = fij,也就是pijfji = fij。
由于fij = pi1fi1 + pi2fi2 + ... + pinfin,且fji = pj1fj1 + pj2fj2 + ... + pjnfnj,可以得到pij = fij/pji。
综上所述,我们证明了pij = fij/pji。这个结论意味着从i出发在n步转移时首次到达j的概率与在n步转移时首次到达i的概率的乘积是一个常数。
相关问题
We consider a contingency table for a pair of binary variables A and B. • We use ~A(~B) to indicate that A(B) is absent from a transaction. • Each entry fij in this table denotes a frequency count. For example, • f11 is the number of times A and B appear together in the same transaction. • f01 is the number of transactions that contain B but not A. B ~B A f11 f10 f1+ ~A f01 f00 f0+ f+1 f+0 N翻译
我们考虑一个二元变量A和B的列联表。
我们使用 ~A(~B) 表示某个交易中缺少 A(B)。
该表中的每一个条目 fij 表示一个频率计数。例如,
- f11 表示 A 和 B 同时出现在一个交易中的次数。
- f01 表示包含 B 但不包含 A 的交易数。
B ~B A f11 f10 f1+ ~A f01 f00 f0+ f+1 f+0 N
其中,f1+、f+1 和 f+0 分别为第一行的总计、第一列的总计以及整个表格的总计。
用牛顿法求解非线性方程组,给出C++代码
好的,下面是使用牛顿法求解非线性方程组的C++代码:
```c++
#include <iostream>
#include <cmath>
#define eps 1e-8 // 精度控制
using namespace std;
int n; // 未知量个数
double x[100], f[100][100], ans[100]; // x为解向量,f为方程组,ans为方程组解
double func(int i) // 方程组的第i个方程
{
double res = 0;
for (int j = 1; j <= n; j++)
res += f[i][j] * x[j];
return res - f[i][0];
}
double func_deriv(int i, int j) // 方程组第i个方程对x[j]的偏导数
{
double res = 0;
for (int k = 1; k <= n; k++)
res += f[i][k] * (j == k ? 1 : 0);
return res;
}
void newton() // 牛顿法求解
{
int k = 0;
while (true) {
double maxx = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
double fi = func(i);
maxx = max(maxx, abs(fi));
for (int j = 1; j <= n; j++) {
double fij = func_deriv(i, j);
x[j] -= fi / fij;
}
}
if (maxx < eps) break;
k++;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans[i] = x[i];
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
cin >> f[i][j];
for (int i = 1; i <= n; i++)
x[i] = 0;
newton();
for (int i = 1; i <= n; i++)
cout << ans[i] << ' ';
cout << endl;
return 0;
}
```
其中,输入的第一个数为未知量个数$n$,接下来$n$行为方程组的$n$个方程,每行$n+1$个数,前$n$个数为方程组的系数,最后一个数为方程组等号右边的常数。程序最后输出方程组的解。
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