请解释Z变换在数字信号处理中的作用，并通过一个实例说明如何利用Z变换分析离散系统。

Z变换在数字信号处理中扮演着核心角色，它不仅将离散信号从时域转换到复频域，而且是设计和分析线性时不变（LTI）离散系统的关键工具。通过Z变换，我们能够以复数频率的形式来描述系统的频率响应，这使得对系统特性的分析变得更加直观和方便。

参考资源链接：[数字信号处理基础：Z变换与离散系统分析](https://wenku.csdn.net/doc/1oij4etszu?spm=1055.2569.3001.10343)

具体来说，Z变换通过一个积分变换将离散时间信号x[n]映射到一个复变量Z的函数X(z)，其中Z可以是实数也可以是复数。这种映射不仅使得我们能够处理无限长的序列，还能够处理通过差分方程描述的系统。Z变换的关键性质包括线性、时移性质、卷积定理以及初始和最终值定理等。

为了说明如何利用Z变换分析离散系统，我们可以考虑一个简单的无限冲激响应（IIR）滤波器，其差分方程如下所示：
y[n] = 0.5 * y[n-1] + x[n]

这里，y[n]是当前的输出，y[n-1]是前一次的输出，x[n]是当前的输入，0.5是滤波器的系数。要分析这个系统，我们首先对其差分方程两边取Z变换：
Y(z) = 0.5 * z^(-1) * Y(z) + X(z)

解这个方程，我们可以得到系统函数H(z)：
H(z) = Y(z) / X(z) = 1 / (1 - 0.5 * z^(-1))

系统函数H(z)描述了滤波器的频率响应特性，通过它可以分析滤波器的频率选择性、稳定性等特性。例如，我们可以计算H(z)在单位圆上的值来分析滤波器的幅度和相位特性。

最后，我们可以通过部分分式展开、查找Z变换表或者使用软件工具来求解y[n]，从而得到系统的具体输出。

综上所述，Z变换不仅帮助我们理解离散系统的内在特性，还为设计和实现数字信号处理系统提供了重要的理论基础。对于希望深入学习数字信号处理的读者，建议参考《数字信号处理基础：Z变换与离散系统分析》，这本书不仅覆盖了Z变换的理论知识，还提供了丰富的实际应用案例，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

参考资源链接：[数字信号处理基础：Z变换与离散系统分析](https://wenku.csdn.net/doc/1oij4etszu?spm=1055.2569.3001.10343)