求服从二项分布B(n,p)的p的极大似然估计
时间: 2024-04-12 11:34:43 浏览: 134
对于服从二项分布 B(n,p) 的随机变量,其概率函数为:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中,C(n,k) 表示组合数。
极大似然估计是通过最大化观测数据的联合概率来估计参数。对于二项分布,我们的目标是找到使观测数据的联合概率最大化的参数 p。
假设我们有一组观测数据 x1, x2, ..., xn,其中 xi 表示第 i 次实验的结果。根据独立性假设,每次实验的结果是相互独立的。
观测数据的联合概率为:
L(p) = P(X=x1) * P(X=x2) * ... * P(X=xn)
= p^k1 * (1-p)^(n-k1) * p^k2 * (1-p)^(n-k2) * ... * p^kn * (1-p)^(n-kn)
= p^(k1+k2+...+kn) * (1-p)^(n-k1+n-k2+...+n-kn)
= p^Σki * (1-p)^(n-Σki)
其中,Σki 表示观测数据中成功的次数之和。
为了求解使 L(p) 最大化的参数 p,我们可以对 L(p) 取对数,并对 p 求导数,令导数为 0。求解这个方程可以得到 p 的极大似然估计值。
首先,取对数:
ln(L(p)) = Σki * ln(p) + (n-Σki) * ln(1-p)
然后,对 p 求导:
d/dp ln(L(p)) = (Σki)/p - (n-Σki)/(1-p) = 0
化简上述方程,可以得到:
(Σki)/p = (n-Σki)/(1-p)
进一步整理,我们可以得到 p 的极大似然估计值为:
p^ = Σki / (n * k)
其中,p^ 表示 p 的极大似然估计值,Σki 表示观测数据中成功的次数之和,n 表示观测数据的总数,k 表示二项分布的参数。
所以,求得 p 的极大似然估计值为 Σki / (n * k)。