如何证明服从二项分布B(n,p)的p的极大似然估计是p的充分估计量
时间: 2024-04-12 22:34:26 浏览: 23
要证明服从二项分布 B(n,p) 的 p 的极大似然估计是 p 的充分估计量,我们需要使用因子分解定理。
首先,我们知道二项分布的概率函数为:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中,C(n,k) 表示组合数。
假设我们有一组观测数据 x1, x2, ..., xn,其中 xi 表示第 i 次实验的结果。根据独立性假设,每次实验的结果是相互独立的。
我们可以将观测数据的联合概率表示为:
L(p) = P(X=x1) * P(X=x2) * ... * P(X=xn)
= C(n,k1) * p^k1 * (1-p)^(n-k1) * C(n,k2) * p^k2 * (1-p)^(n-k2) * ... * C(n,kn) * p^kn * (1-p)^(n-kn)
= p^(k1+k2+...+kn) * (1-p)^(n-k1+n-k2+...+n-kn) * C(n,k1) * C(n,k2) * ... * C(n,kn)
我们可以观察到,上述联合概率可以分解为两部分:
L(p) = g(p, x1, x2, ..., xn) * h(x1, x2, ..., xn)
其中,
g(p, x1, x2, ..., xn) = p^(k1+k2+...+kn) * (1-p)^(n-k1+n-k2+...+n-kn)
h(x1, x2, ..., xn) = C(n,k1) * C(n,k2) * ... * C(n,kn)
现在,我们需要证明 h(x1, x2, ..., xn) 不依赖于 p,即 h(x1, x2, ..., xn) 与 p 无关。
我们知道组合数 C(n,k) 是与 p 无关的常数。因此,
h(x1, x2, ..., xn) = C(n,k1) * C(n,k2) * ... * C(n,kn)
这意味着 h(x1, x2, ..., xn) 不依赖于 p。
根据因子分解定理,如果联合概率可以分解为两部分,其中一个部分与参数 p 无关,那么这个与参数无关的部分就是参数的充分统计量。
在我们的例子中, h(x1, x2, ..., xn) 是与参数 p 无关的部分,因此它是 p 的充分统计量。
因此,我们可以得出结论:服从二项分布 B(n,p) 的 p 的极大似然估计是 p 的充分估计量。
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