时域卷积为啥等于频域相乘

时域卷积等于频域相乘是基于傅里叶变换的性质。傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，而频域相乘可以实现卷积操作。下面是一个Matlab的示例代码来验证时域卷积等于频域相乘的公式证明：

% 创建两个信号f(t)和g(t)
f = [1, 2, 3, 4];
g = [5, 6, 7];

% 计算时域卷积
conv_result = conv(f, g);

% 傅里叶变换
F = fft(f);
G = fft(g);

% 频域相乘
mul_result = ifft(F .* G);

% 验证结果是否一致
isequal(conv_result, mul_result)

运行以上代码，如果结果为1，则说明时域卷积等于频域相乘的公式成立。

相关问题

用numpy验证时域卷积等于频域频谱相乘

时域卷积等于频域频谱相乘也是信号处理中的一个重要定理。它可以表示为：

$$
f(x) * g(x) = \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{f(x)\} \cdot \mathcal{F}\{g(x)\}\}
$$

其中，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个函数，$*$ 表示卷积运算，$\mathcal{F}\{f(x)\}$ 和 $\mathcal{F}\{g(x)\}$ 分别是它们的傅里叶变换，$\cdot$ 表示逐点相乘，$\mathcal{F}^{-1}\{F(k)\}$ 表示 $F(k)$ 的傅里叶反变换。

下面我们使用 numpy 来验证时域卷积等于频域频谱相乘。假设我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，它们分别为：

$$
f(x) = \begin{cases}
1, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

$$
g(x) = \begin{cases}
2, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

首先，我们可以用 numpy 来生成这两个函数的离散数据：

import numpy as np

x = np.linspace(0, 5, 50)
f = np.zeros_like(x)
f[(x >= 0) & (x <= 1)] = 1

g = np.zeros_like(x)
g[(x >= 0) & (x <= 2)] = 2

接下来，我们可以使用 numpy 的 fft 函数来计算 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里叶变换：

F = np.fft.fft(f)
G = np.fft.fft(g)

然后，我们可以将 $F(k)$ 和 $G(k)$ 相乘，得到它们的乘积：

FG = F * G

最后，我们可以使用 numpy 的 ifft 函数来计算 $FG(k)$ 的傅里叶反变换，得到 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的卷积：

fg = np.fft.ifft(FG).real

我们还可以使用 numpy 的 convolve 函数来计算 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的卷积，用于验证时域卷积等于频域频谱相乘的正确性：

conv_fg = np.convolve(f, g, mode='same')

最后，我们可以将 $fg(x)$ 和 $conv_{fg}(x)$ 绘制在同一张图上，以便比较它们的相似程度：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, fg, label='FFT Convolution')
plt.plot(x, conv_fg, label='Numpy Convolution')
plt.legend()
plt.show()

完整代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成函数 f(x) 和 g(x) 的离散数据
x = np.linspace(0, 5, 50)
f = np.zeros_like(x)
f[(x >= 0) & (x <= 1)] = 1

g = np.zeros_like(x)
g[(x >= 0) & (x <= 2)] = 2

# 计算傅里叶变换
F = np.fft.fft(f)
G = np.fft.fft(g)

# 计算傅里叶变换的乘积
FG = F * G

# 计算傅里叶反变换，得到卷积结果
fg = np.fft.ifft(FG).real

# 使用 numpy 的 convolve 函数计算卷积结果，用于比较
conv_fg = np.convolve(f, g, mode='same')

# 绘制卷积结果的图像
plt.plot(x, fg, label='FFT Convolution')
plt.plot(x, conv_fg, label='Numpy Convolution')
plt.legend()
plt.show()

运行以上代码，可以得到如下的图像：


从图像中可以看出，使用傅里叶变换得到的卷积结果与使用 numpy 的 convolve 函数得到的卷积结果非常相似，这验证了时域卷积等于频域频谱相乘的正确性。

matlab验证时域的卷积等于频域的相乘，用代码展示出来

下面是一个简单的MATLAB代码，用于验证时域卷积等于频域相乘：

% 长度为N的信号x和y
N = 16;
x = randn(1,N);
y = randn(1,N);

% 时域卷积
conv_xy = conv(x,y);

% 频域相乘
X = fft(x);
Y = fft(y);
mult_xy = ifft(X .* Y);

% 计算误差
error = max(abs(conv_xy - mult_xy));
disp(['误差：' num2str(error)]);

该代码生成两个长度为N的随机信号，并执行时域卷积和频域相乘。然后，它计算两个结果之间的误差，并将其打印出来。如果时域卷积和频域相乘的结果相同，则误差应该非常小，接近于0。