L无穷范数 插值逼近误差

L∞范数，也称为最大范数或 supremum 范数，是数学中衡量向量或函数在一个定义域上偏离原点的最大程度的一种方式。对于向量 \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n) \)，L∞范数定义为所有分量中的最大绝对值之和：

\[ ||\mathbf{x}||_{\infty} = \max(|x_1|, |x_2|, ..., |x_n|) \]

在插值逼近中，L∞范数常用来度量某个函数 \( f \) 在一组特定点 \( \{x_i\}_{i=1}^n \) 使用某个插值方法（比如线性插值、多项式插值等）得到的插值函数 \( P \) 与原函数之间的最大误差，即：

\[ E_{\infty}(f, P) = \max_{x \in D} |f(x) - P(x)| \]

这里 \( D \) 是函数的定义域。L∞误差提供了最直观的理解，因为它直接给出了在整个区间上函数近似最差的情况。

相关问题

Pytorch L无穷范数

### 如何在 PyTorch 中实现 L 无穷范数计算

L 无穷范数（也称为最大范数或 supremum 范数），定义为向量中绝对值最大的元素。对于张量而言，在 PyTorch 中可以通过 `torch.linalg.norm` 函数指定参数 `ord=float('inf')` 来计算该范数。

下面展示一段用于计算一维张量 L 无穷范数的例子：

import torch

vector = torch.tensor([-1.0, 2.0, -3.0, 4.0])
linf_norm = torch.linalg.norm(vector, ord=float('inf'))
print(f"L-infinity (max) norm: {linf_norm}")

这段代码创建了一个包含负数和正数值的一维张量，并调用了 `torch.linalg.norm()` 方法，传入了 `ord=float('inf')` 参数以指示要计算的是 L 无穷范数[^2]。

当面对多维张量时，可以利用额外的维度参数来控制沿哪个轴应用此操作。例如，如果有一个二维矩阵并希望针对每一行分别求解其对应的 L 无穷范数，则可设置 `dim=1` 参数：

matrix = torch.rand((3, 5))
rowwise_linf_norms = torch.linalg.norm(matrix, ord=float('inf'), dim=1)
print(rowwise_linf_norms)

上述例子展示了如何对形状为 `(3, 5)` 的随机浮点型矩阵执行逐行列的操作，从而获得每行的最大绝对值作为结果向量的一部分。

matlab 无穷范数

在数学中，无穷范数是一种用来衡量向量或矩阵中元素绝对值的大小的方法。在Matlab中，可以使用函数`norm`来计算向量或矩阵的无穷范数。

对于向量来说，无穷范数是向量中所有元素绝对值的最大值。在Matlab中，可以通过指定参数`inf`来计算向量的无穷范数。例如，对于向量`v`，可以使用以下代码计算其无穷范数：

norm(v, inf)

对于矩阵来说，无穷范数是矩阵中所有列向量的无穷范数的最大值。同样地，在Matlab中，可以使用参数`inf`来计算矩阵的无穷范数。例如，对于矩阵`A`，可以使用以下代码计算其无穷范数：

norm(A, inf)

这样就可以得到矩阵`A`的无穷范数。