完成冒泡排序算法的设计（void BubbleSort()）,对数组a中的n个整数类型的数据元素从小到大排序，上述功能定义在一个头文件中，并定义主函数的源文件，并验证结果；然后，分析该算法的时间复杂度。

**header file (bubble_sort.h)**

#ifndef BUBBLE_SORT_H
#define BUBBLE_SORT_H

#include <vector>

void BubbleSort(std::vector<int>& a, int n);
void printArray(const std::vector<int>& a);

#endif // BUBBLE_SORT_H

**source file (bubble_sort.cpp)**

#include "bubble_sort.h"

void BubbleSort(std::vector<int>& a, int n) {
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
            if (a[j] > a[j + 1]) {
                std::swap(a[j], a[j + 1]);
            }
        }
    }
}

void printArray(const std::vector<int>& a) {
    for (int num : a) {
        std::cout << num << " ";
    }
    std::cout << "\n";
}

int main() {
    std::vector<int> a = {5, 3, 8, 4, 2};
    int n = a.size();
    
    BubbleSort(a, n);
    printArray(a);

    return 0;
}

在这个例子中，我们定义了一个`BubbleSort`函数，它接受一个整数向量和它的长度。内部的两层循环实现了冒泡排序算法，每次比较相邻元素，如果逆序则交换。`printArray`函数用于打印排序后的数组以验证结果。

**时间复杂度分析：**
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n是待排序数组的长度。这是因为它需要两层嵌套循环：外层循环遍历n次，内层循环最坏情况下也需要遍历n次，所以总次数是n * n。尽管在最好情况（已经排序好的数组）下，时间复杂度会退化为O(n)，但在平均和最坏情况下都是O(n^2)。