布尔代数用枚举法证明分配律

布尔代数中的分配律指的是两个操作符同时作用于三个元素时的性质，通常对于AND(与)和OR(或)运算。在使用枚举法证明时，我们列举所有可能的情况并分析它们。

假设我们有两个布尔变量A、B和C，以及两个运算：AND(&) 和 OR(|)。分配律包括两个部分：

1. A ∘ (B ∨ C) = (A ∘ B) ∨ (A ∘ C)，其中 ∘ 可以是 AND 或 OR。
2. (A ∨ B) ∘ C = (A ∘ C) ∨ (B ∘ C)。

下面通过枚举所有四种可能的值组合来验证这两个等式：

- 当A、B、C都是False时：
- LHS(A & (B | C)) = False (因为每个都是False)
- RHS((A & B) | (A & C)) = False (因为没有True的因子)
- 结论成立

- 当A、B、C中有两个True，一个False时：
- 如果AB=True，AC=False，BC=False，那么LHS仍然是False，RHS也是False；
- 如果AB=False，AC=True，BC=False，同理，LHS=RHS=AC；
- 分别考虑其他情况，都能得出两边结果相等。

- 当A、B、C有一个True，其余两个False时：
- 按照上述步骤，可以验证每次都是左边等于右边。

- 当A、B、C都是True时：
- LHS(A & (B | C)) = True (因为有至少一个True)
- RHS((A & B) | (A & C)) = True (因为A是True)
- 两边都为True。

由于枚举了所有可能的情况，并且发现无论输入如何，两边的结果始终一致，所以我们可以肯定地证明了分配律对布尔代数成立。