1．根据下列技术指标，设计一个FIR数字低通滤波器： ω_p=0.2π,ω_s=0.4π,A_p=0.25dB,A_s=50dB 选择一个恰当的窗函数，确定单位冲激响应，绘出所设计的滤波器的幅度响应。

要设计一个FIR（有限 impulse response）数字低通滤波器，我们首先需要确定滤波器的主要参数：截止频率（ω_p）、滚降陡度（A_p）、下限滚降（A_s），以及可能使用的窗函数。给定的参数是：

- ω_p = 0.2π rad/s (这是截止频率，对应于20%的采样率)
- ω_s = 0.4π rad/s (这个可能是上截止频率或最大过渡带宽度的一半)
- A_p = 0.25 dB (滚降陡度，表示截止频率处的衰减)
- A_s = 50 dB (下限滚降，也就是在低频区的滚降程度)

对于低通滤波器的设计，我们需要选择一个适当的窗函数，常用的有矩形窗口、汉明窗、黑曼窗等。在这个例子中，通常会选择黑曼窗（Hanning窗或Hamming窗），因为它提供了良好的过渡特性和相对较低的旁瓣。

接下来，我们将使用窗口函数来设计滤波器的长度N，通常可以通过计算奈奎斯特频率（nyquist frequency）下的间隔（即 π / ω_p）来估计N，然后再加上一个适当的安全余量。然后我们可以使用firwin函数从numpy或scipy库来设计FIR滤波器。

以下是如何用Python实现这一过程的一个基本步骤：

import numpy as np
from scipy.signal import firwin, freqz

# 定义滤波器参数
omega_p = 0.2 * np.pi  # 截止频率
omega_s = 0.4 * np.pi  # 上截止频率或最大过渡带宽度的一半
A_p = 0.25  # 滚降斜率 (dB) -> 对应的是衰减因子 (db_to_atten(A_p))
A_s = 50  # 下限滚降 (dB)
fs = 1  # 假设采样频率为1 (Hz)

# 计算奈奎斯特频率和滤波器长度
nyquist = fs / 2
transition_width = omega_s - omega_p
N = int(np.ceil(transition_width / (np.pi / nyquist))) + 1  # FIR长度加上安全余量

# 使用Hann窗设计滤波器
window = 'hann'
b = firwin(N, [omega_p / nyquist], window=window, pass_zero=True, scale=False)

# 转换滚降斜率到衰减因子 (db)
atten = db_to_atten(A_p)

# 计算并绘制幅频响应
w, h = freqz(b, worN=8000)  # 高分辨率幅频响应
freq_axis = w * fs / (2 * np.pi)
gain = 20 * np.log10(abs(h))  # 将分贝转换为线性增益
plt.plot(freq_axis, gain, label='Filter Gain')
plt.axvline(omega_p, color='r', linestyle='--', label=f'Cut-off at {omega_p:.2f} Hz')
plt.axvline(omega_s, color='k', linestyle=':', label=f'Stopband edge at {omega_s:.2f} Hz')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Gain (dB)')
plt.title(f'Design: Low-pass filter with ωp={omega_p}, ωs={omega_s}, A_p={A_p}, A_s={A_s}')
plt.legend()
plt.show()

# 函数用于从dB转换到衰减因子
def db_to_atten(db):
    return 10**(db / 20)

这段代码将创建一个FIR低通滤波器，并绘制其幅度响应图。运行此代码之前，请确保已经安装了matplotlib库，如果没有，你可以用`pip install matplotlib`进行安装。