卷积神经网络数学计算

### 卷积神经网络中的数学计算原理

#### 1. 前向传播过程

卷积神经网络（CNN）的核心在于其前向传播过程中如何处理输入数据并提取特征。对于每一层，主要操作包括卷积、激活函数应用以及池化。

- **卷积操作**：设输入图像大小为 \( H \times W \)，滤波器尺寸为 \( K \times K \)，步幅(stride)为\( S \)，填充(padding)为\( P \)，则输出特征图的维度可以表示为：

\[ (H-K+2P)/S + 1 \]

当执行一次二维离散卷积时，会得到一个新的矩阵作为下一层的输入[^3]。

import numpy as np

def convolve2d(image, kernel, stride=(1, 1), padding='valid'):
    # 实现简单的2D卷积操作
    pass

#### 2. 反向传播与梯度更新

为了优化模型参数，在反向传播阶段需要计算损失相对于各层权重和偏置的变化率。这涉及到链式法则的应用，即通过逐层传递误差来调整前面层次上的参数。

给定某一层的局部梯度\(\delta_l\) ，可以通过下面的方式获得上一隐藏层对应的梯度表达式:

\[ \frac{\partial E}{\partial y_{i,j}^{(l-1)}} = \sum_k w_{k,i,j}\cdot \delta_k^{(l)} * R_k \]

其中\(R_k\)代表旋转后的核窗口位置下的感受野区域。

#### 3. 权重更新机制

采用随机梯度下降法(SGD)或其他变体来进行迭代式的参数修正。具体来说就是按照如下公式更新每一个连接处的权重值：

\[ w := w - \eta \nabla_w J(w,b;x,y) \]

这里,\(\eta\) 表示学习速率；而 \(\nabla_w J(...)\) 则指代关于当前样本(x,y)所定义的目标函数J对相应变量w取导数的结果[^2]。

#### 4. 图卷积神经网络特殊之处

不同于传统 CNN 主要在欧氏空间内工作,GNN 或 GCN 更加关注于非结构化的图数据集。这类方法利用拉普拉斯算子及其特征分解特性完成节点间关系的学习，并且能够很好地捕捉到复杂拓扑结构内的模式信息[^1]。