定义反常积分函数Iαf(t)=∫0t(t−s)α−1f(s)ds,其中α∈(0,1),试分别计算积分I1−β(−cos⁡(t)),β=0,0.1,0.2,⋯,1时的值， 并用MATLAB在一张3D图内画出的代码是什么

反常积分函数 \( I_{\alpha} f(t) \) 当 \(\alpha\) 属于区间 (0, 1) 时，通常会涉及到幂级数展开或其他特殊函数的处理，因为在这种情况下，原积分可能是发散的，但是可以利用某些分析技巧来定义其值。对于给定的 \( f(t) = -\cos(t) \) 和 \(\beta\) 的一系列值从 0 到 1，我们可以尝试通过数值方法计算积分。

首先，我们需要用数值积分方法，比如梯形法、辛普森法则或者 MATLAB 中的 `integral` 函数。对于 \( \beta \) 的每个取值，我们计算 \( I_{1-\beta}(-\cos(t)) \)。然后，为了展示这些结果，我们可以创建一个三维图，其中 x 轴代表 t，y 轴是 \(\beta\) 的值，z 轴是对应的积分值。

在 MATLAB 中，假设 `t` 是已知的一组数据点，例如：

t = linspace(0, pi, 100); % 假设t是0到pi之间的等差数组
f = -cos(t);

% 创建一个矩阵存储 alpha 值对应的结果
alphas = 0:0.1:1; % 从0到1以步长0.1取值
integral_values = zeros(size(alphas));

for i = 1:length(alphas)
    beta = alphas(i);
    integral_values(i) = integral(@(s) (-s).^(1-beta).*f, 0, t);
end

% 创建三维图
surf(beta, t, integral_values);
xlabel('Beta');
ylabel('t');
zlabel('Integral Value');
title('Alpha Integral of -cos(t)');

这个代码将生成一个 3D 图，展示了随着 \(\beta\) 变化，积分值如何随时间变化。请注意，实际运行时可能会遇到数值稳定性的问题，尤其是当 \(\alpha\) 接近 1 时，由于积分可能存在数值发散，需要谨慎处理。在计算过程中可能需要增加积分步骤或采用更稳定的数值方法。