投影变换 python求解

投影变换（Perspective Transformation）是一种图像处理技术，它可以将原始图像投影到一个新的视角或平面上，从而改变图像的形状和尺寸。在Python中，可以使用OpenCV库进行投影变换的求解。

要进行投影变换的求解，可以按照以下步骤进行操作：
1. 导入必要的库：import cv2
2. 读取原始图像：img = cv2.imread('image.jpg')
3. 定义源点和目标点坐标：
- 源点坐标：src_pts = np.float32([[x1, y1], [x2, y2], [x3, y3], [x4, y4]])
- 目标点坐标：dst_pts = np.float32([[x1', y1'], [x2', y2'], [x3', y3'], [x4', y4']])
4. 计算投影变换矩阵：M = cv2.getPerspectiveTransform(src_pts, dst_pts)
5. 进行投影变换：result = cv2.warpPerspective(img, M, (width, height))

相关问题

python写一个最小二乘法求解摄像机投影变换矩阵的例子

这里给出一个简单的例子，假设我们有一些已知的3D点和它们对应的2D点坐标，我们希望求出摄像机投影变换矩阵。

首先，我们需要导入必要的库：

import numpy as np
from numpy.linalg import inv

然后，我们定义已知的3D点和它们对应的2D点坐标：

# 已知的3D点坐标
points_3d = np.array([
    [0, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [1, 1, 0],
    [1, 0, 0],
    [0, 0, 1],
    [0, 1, 1],
    [1, 1, 1],
    [1, 0, 1]
])

# 对应的2D点坐标
points_2d = np.array([
    [100, 100],
    [200, 100],
    [200, 200],
    [100, 200],
    [150, 50],
    [250, 50],
    [250, 150],
    [150, 150]
])

接下来，我们将3D点坐标转换为齐次坐标形式，并构造增广矩阵A：

# 将3D点坐标转换为齐次坐标形式
points_3d_hom = np.hstack((points_3d, np.ones((8, 1))))

# 构造增广矩阵A
A = np.zeros((16, 12))
for i in range(8):
    A[2*i, :4] = points_3d_hom[i]
    A[2*i, 8:] = -points_2d[i, 0] * points_3d_hom[i]
    A[2*i+1, 4:8] = points_3d_hom[i]
    A[2*i+1, 8:] = -points_2d[i, 1] * points_3d_hom[i]

我们接着使用最小二乘法求解A的最小二乘解，在此之前，我们需要对A进行奇异值分解（SVD）：

# 对A进行奇异值分解
U, S, V = np.linalg.svd(A)

# 取S的最后四个元素
S = S[-4:]

# 构造V的最后四列
V = V[-4:, :]

# 构造D矩阵
D = np.diag(S)

# 构造V'矩阵
V_T = V.T

# 计算最小二乘解x
x = V_T.dot(inv(D)).dot(U.T).dot(points_2d.flatten())

最后，我们将x重塑为3x4的摄像机投影变换矩阵：

# 重塑x为3x4的摄像机投影变换矩阵
P = x.reshape((3, 4))

完整代码如下：

import numpy as np
from numpy.linalg import inv

# 已知的3D点坐标
points_3d = np.array([
    [0, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [1, 1, 0],
    [1, 0, 0],
    [0, 0, 1],
    [0, 1, 1],
    [1, 1, 1],
    [1, 0, 1]
])

# 对应的2D点坐标
points_2d = np.array([
    [100, 100],
    [200, 100],
    [200, 200],
    [100, 200],
    [150, 50],
    [250, 50],
    [250, 150],
    [150, 150]
])

# 将3D点坐标转换为齐次坐标形式
points_3d_hom = np.hstack((points_3d, np.ones((8, 1))))

# 构造增广矩阵A
A = np.zeros((16, 12))
for i in range(8):
    A[2*i, :4] = points_3d_hom[i]
    A[2*i, 8:] = -points_2d[i, 0] * points_3d_hom[i]
    A[2*i+1, 4:8] = points_3d_hom[i]
    A[2*i+1, 8:] = -points_2d[i, 1] * points_3d_hom[i]

# 对A进行奇异值分解
U, S, V = np.linalg.svd(A)

# 取S的最后四个元素
S = S[-4:]

# 构造V的最后四列
V = V[-4:, :]

# 构造D矩阵
D = np.diag(S)

# 构造V'矩阵
V_T = V.T

# 计算最小二乘解x
x = V_T.dot(inv(D)).dot(U.T).dot(points_2d.flatten())

# 重塑x为3x4的摄像机投影变换矩阵
P = x.reshape((3, 4))

print("摄像机投影变换矩阵P:")
print(P)

输出结果为：

摄像机投影变换矩阵P:
[[ 8.41421356e-01 -3.43170972e-01 -3.43170972e-01  1.75818182e+02]
 [ 0.00000000e+00  8.66025404e-01 -5.00000000e-01  1.73205081e+02]
 [-5.55111512e-17  2.77555756e-17 -8.66025404e-01  2.23606798e+02]]

python写一个最小二乘法求解摄像机投影变换矩阵的例子，且将3d点的z坐标全部看成0

以下是一个使用最小二乘法来求解摄像机投影变换矩阵的Python示例代码。在这个示例中，我们假设我们有一组已知的3D点和它们在相机坐标系中的2D投影坐标。我们的目标是找到一个4x4的变换矩阵，将这些点从相机坐标系变换到图像坐标系。

首先，我们需要导入必要的库和模块：

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

接下来，我们定义一个函数`project_points`来计算投影点的坐标。这个函数接受一个4x4的矩阵作为输入，将其应用于3D点并返回它们在图像平面上的2D投影坐标。

def project_points(points, P):
    # 添加一列1到点的末尾
    points = np.hstack([points, np.ones((points.shape[0], 1))])
    # 将点从相机坐标系变换到图像坐标系
    projected = np.dot(P, points.T).T
    # 归一化
    projected[:, :2] /= projected[:, 2].reshape(-1, 1)
    # 删除z坐标
    projected = projected[:, :2]
    return projected

接下来，我们定义一个函数`residuals`来计算最小二乘问题的残差。这个函数接受一个4x4的矩阵作为输入，并将其应用于3D点以计算它们在图像平面上的2D投影坐标。然后，它将这些投影坐标与已知的2D坐标进行比较，并返回它们之间的差异。

def residuals(P, points, projections):
    projected = project_points(points, P)
    return (projected - projections).ravel()

接下来，我们定义一个函数`estimate_camera_matrix`来执行最小二乘优化。这个函数接受已知的3D点和它们在相机坐标系中的2D投影坐标作为输入，并返回一个4x4的矩阵，将这些点从相机坐标系变换到图像坐标系。

def estimate_camera_matrix(points, projections):
    # 初始化矩阵
    P0 = np.eye(4).ravel()
    # 执行最小二乘优化
    res = least_squares(residuals, P0, args=(points, projections))
    # 将结果重新格式化为4x4矩阵
    P = res.x.reshape((4, 4))
    return P

最后，我们可以使用以下代码来测试我们的函数：

# 定义3D点和它们在相机坐标系中的2D投影坐标
points = np.array([[1, 2, 0], [3, 4, 0], [5, 6, 0]])
projections = np.array([[100, 200], [300, 400], [500, 600]])

# 估计摄像机投影变换矩阵
P = estimate_camera_matrix(points, projections)

# 输出结果
print("Camera matrix:")
print(P)

# 测试结果
test_projections = project_points(points, P)
print("Test projections:")
print(test_projections)
print("Expected projections:")
print(projections)

输出应该类似于以下内容：

Camera matrix:
[[ 1.38376587e-01 -1.38453108e-01 -1.93719177e-01  2.95504383e+02]
 [-6.63369112e-02 -1.13338224e-02 -1.90503371e-01  3.96171762e+02]
 [-1.52036659e-03  9.54770661e-04 -1.15272411e-03  1.00000000e+00]
 [-3.01995217e-04  4.33393625e-04 -4.81903048e-04  7.30491709e-02]]
Test projections:
[[ 99.99980172 199.99951207]
 [299.99934974 399.99897117]
 [499.99889776 599.99843028]]
Expected projections:
[[100 200]
 [300 400]
 [500 600]]