3.18采用牛顿-拉弗森法求解如下非线性方程组，取初值x。=y0=0.5，精度要求10^-6 x^3-y=0 x^2+y^2=1

牛顿-拉弗森法（Newton-Raphson method）是一种迭代方法，用于寻找非线性方程组的根。这种方法基于泰勒级数展开，每次迭代都会根据当前点的切线近似方程找到一个新的更接近真实根的解。

对于给定的方程组：

1. \( x^3 - y = 0 \)
2. \( x^2 + y^2 = 1 \)

初始值为 \( x_0 = y_0 = 0.5 \)，我们需要做以下步骤来应用牛顿-拉弗森法：

1. **计算Jacobian矩阵** (雅可比矩阵)：这是包含每个方程关于未知变量偏导数的矩阵，对我们的方程组来说是：
\[
J(x, y) =
\begin{bmatrix}
3x^2 & -1 \\
2x & 2y
\end{bmatrix}
\]

2. **计算当前点的残差**：即每个方程的右侧值减去左侧值。
\[
r(x, y) =
\begin{bmatrix}
x^3 - y \\
x^2 + y^2 - 1
\end{bmatrix}
\]

3. **计算下一个猜测点**：\( (x_{k+1}, y_{k+1}) = (x_k, y_k) - J(x_k, y_k)^{-1} r(x_k, y_k) \)。如果\( J \)不可逆，可能需要使用高斯-约旦消元或QR分解等方法。

4. **检查收敛条件**：如果新的估计点与旧的估计点足够接近（比如\( |r(x_{k+1}, y_{k+1})| < 10^{-6} \)），则停止迭代；否则返回步骤3。

由于这是一个数值算法，我会编写一段简单的Python代码来实现这个过程，不过请注意，直接求逆雅可比矩阵可能会导致数值不稳定，因此通常我们会用库如`scipy.optimize.root`或者自己实现一个迭代优化器来处理这种情况。下面是简化的Python代码片段：

import numpy as np

def equations(x):
    return [x[0]**3 - x[1], x[0]**2 + x[1]**2 - 1]

def jacobian(x):
    return np.array([[3 * x[0]**2, -1],
                     [2 * x[0],     2 * x[1]]])

# 初始值
x0 = np.array([0.5, 0.5])
tolerance = 1e-6
max_iterations = 100

for i in range(max_iterations):
    # 残差
    residual = equations(x0)
    
    # 更新
    if np.linalg.norm(residual) < tolerance:
        break
    
    inverse_jac = np.linalg.inv(jacobian(x0))  # 可能需要改进的求逆方法
    x0 -= np.dot(inverse_jac, residual)

x0  # 输出最终解

运行这段代码后，你会得到满足精度要求的解。