匈牙利算法矩阵求解过程

匈牙利算法可以通过矩阵的形式进行求解。假设我们有一个二分图，其中X顶点集有m个顶点，Y顶点集有n个顶点。我们可以使用一个m×n的矩阵来表示二分图的边权重。

下面是匈牙利算法在矩阵形式下的求解过程：

1. 初始化一个m×n的矩阵，初始值都为0。这个矩阵用来表示二分图中每条边的权重。

2. 对于X顶点集中的每个顶点，选择一个未匹配的顶点作为起始顶点。

3. 对于选定的起始顶点，使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）寻找增广路径。在搜索过程中，我们将会遍历所有与起始顶点相连的未匹配顶点，并且尽可能延伸增广路径。

4. 如果找到了增广路径，则将路径上的边进行匹配和反匹配操作。具体地，如果某条边不在当前的匹配中，则将其加入匹配中；如果某条边已经在当前的匹配中，则将其从匹配中删除。

5. 重复步骤3和步骤4，直到无法再找到增广路径为止。

6. 输出最终的匹配结果，即得到了二分图的最大匹配。

在矩阵形式下，匈牙利算法的时间复杂度为O(m^2 * n)。这是因为在最坏情况下，需要进行m次DFS或BFS，每次搜索可能需要遍历n个顶点。

希望以上解答对你有所帮助。如果你还有其他问题，请继续提问。

相关问题

匈牙利算法求解运输问题代码

以下是使用匈牙利算法求解最小费用最大流运输问题的 Python 代码示例：

INF = float('inf')

class Hungarian:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.w = [[0] * n for _ in range(n)]
        self.match = [-1] * n
    
    def add_edge(self, u, v, cost):
        self.w[u][v] = cost
    
    def bfs(self, s, t, prev, vis):
        que = []
        que.append(s)
        vis[s] = True
        while que:
            u = que.pop(0)
            for v in range(self.n):
                if not vis[v] and self.w[u][v] > 0:
                    vis[v] = True
                    prev[v] = u
                    if v == t:
                        return True
                    que.append(v)
        return False
    
    def min_cost_max_flow(self, s, t):
        flow = 0
        cost = 0
        while True:
            vis = [False] * self.n
            prev = [-1] * self.n
            if not self.bfs(s, t, prev, vis):
                break
            f = INF
            v = t
            while v != s:
                u = prev[v]
                f = min(f, self.w[u][v])
                v = u
            flow += f
            cost += f * self.w[prev[t]][t]
            v = t
            while v != s:
                u = prev[v]
                self.w[u][v] -= f
                self.w[v][u] += f
                v = u
        return flow, cost

    def match_cost(self):
        res = 0
        for i in range(self.n):
            if self.match[i] != -1:
                res += self.w[self.match[i]][i]
        return res

    def match_edges(self):
        edges = []
        for i in range(self.n):
            if self.match[i] != -1:
                edges.append((self.match[i], i))
        return edges
    
    def max_matching(self):
        for i in range(self.n):
            for j in range(self.n):
                self.w[i][j] = -self.w[i][j]
        for i in range(self.n):
            self.w[i][i] = -INF
        self.match = [-1] * self.n
        for i in range(self.n):
            q = [(-self.w[i][j], j) for j in range(self.n)]
            heapq.heapify(q)
            vis = [False] * self.n
            vis[i] = True
            while q:
                cost, j = heapq.heappop(q)
                if vis[j]:
                    continue
                vis[j] = True
                if self.match[j] == -1 or -self.w[self.match[j]][j] > cost:
                    self.match[j] = i
                    self.w[i][j] = -cost
                    break
        return sum(self.w[i][self.match[i]] for i in range(self.n)), self.match

其中，`self.w` 是邻接矩阵表示的图，`self.match` 是匹配数组，初始值为 -1，表示未匹配。`add_edge` 方法用于添加边。`min_cost_max_flow` 方法用于求解最小费用最大流，返回最大流和最小费用。`match_cost` 方法用于返回匹配的总费用，`match_edges` 方法用于返回匹配的边。`max_matching` 方法用于求解最大匹配，返回最大匹配和匹配数组。

匈牙利算法求解指派问题的代码

以下是使用匈牙利算法求解二分图最大权完美匹配的 Python 代码：

INF = float('inf')

def hungarian_algorithm(graph):
    """
    使用匈牙利算法求解二分图最大权完美匹配
    :param graph: 二分图的邻接矩阵表示
    :return: 匹配结果，包含每个右侧节点所匹配的左侧节点的编号
    """
    n = len(graph)
    match = [-1] * n  # 匹配结果，初始全部为-1
    slack = [INF] * n  # slack数组，记录每个右侧节点在当前匹配中可以被增广的最小权值
    visited = [False] * n  # 记录左侧节点是否已被访问

    def dfs(u):
        """
        从左侧节点u开始进行增广，返回是否找到增广路
        """
        visited[u] = True
        for v in range(n):
            if not visited[v] and graph[u][v] < INF:
                gap = slack[v] - graph[u][v]
                if gap == 0:
                    visited[v] = True
                    if match[v] == -1 or dfs(match[v]):
                        match[v] = u
                        return True
                elif gap < slack[v]:
                    slack[v] = gap
        return False

    # 对每个左侧节点进行增广
    for u in range(n):
        # 初始化slack数组
        slack = [INF] * n
        # 如果当前左侧节点还未匹配，则进行增广
        if match[u] == -1:
            # 找到当前左侧节点能够到达的所有右侧节点的最小权值
            min_weight = INF
            for v in range(n):
                min_weight = min(min_weight, graph[u][v])
            # 如果当前左侧节点不能到达任何一个右侧节点，则无法形成完美匹配
            if min_weight == INF:
                return None
            # 更新slack数组
            for v in range(n):
                if graph[u][v] < INF:
                    slack[v] = min(slack[v], graph[u][v] - min_weight)
            # 尝试从当前左侧节点开始增广
            while True:
                visited = [False] * n
                if dfs(u):
                    break
                # 如果找不到增广路，则更新slack数组
                delta = INF
                for v in range(n):
                    if not visited[v] and slack[v] < delta:
                        delta = slack[v]
                for i in range(n):
                    if visited[i]:
                        match[i] = -1
                    if slack[i] < INF:
                        slack[i] -= delta
                    else:
                        slack[i] = INF
    return match

其中，二分图的邻接矩阵 `graph` 应为一个 $n \times n$ 的矩阵，第 $i$ 行第 $j$ 列表示从左侧节点 $i$ 到右侧节点 $j$ 的边的权值。如果不存在这条边，则权值应为正无穷（`INF`）。函数返回的匹配结果 `match` 为一个长度为 $n$ 的列表，其中第 $i$ 个元素表示右侧节点 $i$ 所匹配的左侧节点的编号。如果右侧节点 $i$ 没有被匹配，则对应元素的值为 -1。