拉格朗日插值法C++

### C++ 实现拉格朗日插值法

拉格朗日插值是一种多项式插值方法，通过给定的一组离散数据点构建一个多项式函数。以下是使用 C++ 实现拉格朗日插值的具体方式：

#### 定义辅助函数计算基函数
为了提高代码可读性和模块化程度，先定义用于计算拉格朗日基函数的辅助函数。

double lagrange_basis(int j, const std::vector<double>& x, double target_x) {
    double result = 1.0;
    for (int m = 0; m < x.size(); ++m) {
        if (m != j) {
            result *= (target_x - x[m]) / (x[j] - x[m]);
        }
    }
    return result;
}

此部分实现了拉格朗日基函数 \( L_j(x) \)，其中 `j` 表示当前节点索引，`x` 是已知的数据点横坐标集合，而 `target_x` 则是要预测的目标位置[^2]。

#### 主要功能：执行插值运算
接下来编写主程序来完成整个插值过程并返回估计的结果。

#include <iostream>
#include <vector>

// ... 上述lagrange_basis() 函数...

double interpolate(const std::vector<double>& x, const std::vector<double>& y, double target_x) {
    int n = x.size();
    double sum = 0;

    for (int i = 0; i < n; ++i){
        sum += y[i] * lagrange_basis(i, x, target_x);
    }

    return sum;
}

int main(){
    // 测试用例输入
    std::vector<double> x_points{1, 2, 4};      // 已知样本点X轴坐标
    std::vector<double> y_values{-1, 0, 2};     // 对应Y轴上的取值
    
    double query_point = 3;                     // 需求解的新点的位置

    // 执行插值操作
    double interpolated_value = interpolate(x_points, y_values, query_point);

    // 输出结果
    std::cout << "Interpolated value at point " << query_point 
              << ": " << interpolated_value << '\n';

    return 0;
}

这段代码展示了完整的拉格朗日插值算法流程，在实际应用中可以根据具体需求调整参数或优化性能[^3]。