python softmax函数求导
时间: 2024-07-21 14:00:22 浏览: 80
softmax 函数在机器学习中常用于处理概率分布,特别是当需要将向量转换为归一化概率的时候。它的定义是一个将向量中的每个元素映射到 (0, 1) 区间内的值,并且所有值的和为 1,这样每个元素就可以被解释为一个事件的概率。
数学上,softmax(x) 对于向量 x 的 i 维元素计算如下:
softmax(x)_i = exp(x_i) / Σ(exp(x_j))
其中,exp 表示指数函数,Σ 表示对所有 j 的求和。
求 softmax 函数的梯度(导数)是为了优化模型参数时使用反向传播算法。对于softmax函数,其导数(也称为雅可比矩阵)是这样的:
∂softmax(x)_i / ∂x_j = softmax(x)_j * (softmax(x)_i - δ_ij)
这里的 δ_ij 是 Kronecker delta 函数,当 i 等于 j 时为 1,否则为 0。这意味着只有输入项 x_j 和 softmax 输出项 x_i 相同时,对应的导数才非零,其余位置的导数为 0。
相关问题
softmax函数的推导
softmax函数的推导如下所示:
假设有一个具有n个类别的分类任务,softmax函数可以将n个输入值转化为n个概率值,表示每个类别被选择的概率。
首先,我们定义softmax函数的输入为向量z = [z1, z2, ..., zn],其中zi表示第i个类别的输入值。
softmax函数的定义如下:
```python
softmax(z) = [e^z1 / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn), e^z2 / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn), ..., e^zn / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn)]
```
为了推导softmax函数的导数,我们首先计算softmax函数的输出值。
softmax函数的输出值为:
```python
softmax(z) = [p1, p2, ..., pn]
```
其中pi表示第i个类别被选择的概率。
接下来,我们需要计算softmax函数对输入向量z的导数。
根据链式法则,softmax函数对输入向量z的导数可以表示为:
```python
dsoftmax(z) / dz = [dp1 / dz1, dp2 / dz2, ..., dpn / dzn]
```
我们可以通过对softmax函数的输出值pi求导来计算dsoftmax(z) / dz。
根据softmax函数的定义,我们可以将pi表示为:
```python
pi = e^zi / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn)
```
对pi求导,可以得到:
```python
dpi / dzi = (e^zi * (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn) - e^zi * e^zi) / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn)^2
= e^zi / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn) - (e^zi / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn))^2
= pi - pi^2
= pi * (1 - pi)
```
因此,softmax函数对输入向量z的导数可以表示为:
```python
dsoftmax(z) / dz = [p1 * (1 - p1), p2 * (1 - p2), ..., pn * (1 - pn)]
```
这样,我们就推导出了softmax函数的导数。
pytorch softmax求导
在PyTorch中,可以使用autograd来计算softmax函数的导数。以下是一个示例代码:
```python
import torch
import torch.nn.functional as F
# 输入数据
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0], requires_grad=True)
# 计算softmax
output = F.softmax(x, dim=0)
# 计算导数
output.backward(torch.tensor([1.0, 0.5, 0.2]))
# 打印x的梯度
print(x.grad)
```
在这个例子中,我们首先定义了一个包含三个元素的张量`x`,并将其设置为需要计算梯度。然后,我们使用PyTorch的`F.softmax`函数对`x`进行softmax操作,并将结果保存在`output`中。
接下来,我们调用`output.backward()`函数计算`output`相对于输入`x`的导数,并传入导数的权重作为参数。在这里,我们传入了一个权重张量`[1.0, 0.5, 0.2]`。
最后,我们可以通过访问`x.grad`属性来获取`x`的梯度。
请注意,这里的导数计算是基于反向传播算法实现的。在调用`output.backward()`之前,你需要确保只有一个标量值作为输出,否则你可能需要指定其他参数来计算梯度。
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