python softmax函数求导

softmax 函数在机器学习中常用于处理概率分布，特别是当需要将向量转换为归一化概率的时候。它的定义是一个将向量中的每个元素映射到 (0, 1) 区间内的值，并且所有值的和为 1，这样每个元素就可以被解释为一个事件的概率。

数学上，softmax(x) 对于向量 x 的 i 维元素计算如下：
softmax(x)_i = exp(x_i) / Σ(exp(x_j))

其中，exp 表示指数函数，Σ 表示对所有 j 的求和。

求 softmax 函数的梯度（导数）是为了优化模型参数时使用反向传播算法。对于softmax函数，其导数（也称为雅可比矩阵）是这样的：
∂softmax(x)_i / ∂x_j = softmax(x)_j * (softmax(x)_i - δ_ij)

这里的 δ_ij 是 Kronecker delta 函数，当 i 等于 j 时为 1，否则为 0。这意味着只有输入项 x_j 和 softmax 输出项 x_i 相同时，对应的导数才非零，其余位置的导数为 0。

相关问题

pytorch softmax求导

在PyTorch中，可以使用autograd来计算softmax函数的导数。以下是一个示例代码：

import torch
import torch.nn.functional as F

# 输入数据
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0], requires_grad=True)

# 计算softmax
output = F.softmax(x, dim=0)

# 计算导数
output.backward(torch.tensor([1.0, 0.5, 0.2]))

# 打印x的梯度
print(x.grad)

在这个例子中，我们首先定义了一个包含三个元素的张量`x`，并将其设置为需要计算梯度。然后，我们使用PyTorch的`F.softmax`函数对`x`进行softmax操作，并将结果保存在`output`中。

接下来，我们调用`output.backward()`函数计算`output`相对于输入`x`的导数，并传入导数的权重作为参数。在这里，我们传入了一个权重张量`[1.0, 0.5, 0.2]`。

最后，我们可以通过访问`x.grad`属性来获取`x`的梯度。

请注意，这里的导数计算是基于反向传播算法实现的。在调用`output.backward()`之前，你需要确保只有一个标量值作为输出，否则你可能需要指定其他参数来计算梯度。

softmax函数的推导

softmax函数的推导如下所示：

假设有一个具有n个类别的分类任务，softmax函数可以将n个输入值转化为n个概率值，表示每个类别被选择的概率。

首先，我们定义softmax函数的输入为向量z = [z1, z2, ..., zn]，其中zi表示第i个类别的输入值。

softmax函数的定义如下：

softmax(z) = [e^z1 / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn), e^z2 / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn), ..., e^zn / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn)]

为了推导softmax函数的导数，我们首先计算softmax函数的输出值。

softmax函数的输出值为：

softmax(z) = [p1, p2, ..., pn]

其中pi表示第i个类别被选择的概率。

接下来，我们需要计算softmax函数对输入向量z的导数。

根据链式法则，softmax函数对输入向量z的导数可以表示为：

dsoftmax(z) / dz = [dp1 / dz1, dp2 / dz2, ..., dpn / dzn]

我们可以通过对softmax函数的输出值pi求导来计算dsoftmax(z) / dz。

根据softmax函数的定义，我们可以将pi表示为：

pi = e^zi / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn)

对pi求导，可以得到：

dpi / dzi = (e^zi * (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn) - e^zi * e^zi) / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn)^2
          = e^zi / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn) - (e^zi / (e^z1 + e^z2 + ... + e^zn))^2
          = pi - pi^2
          = pi * (1 - pi)

因此，softmax函数对输入向量z的导数可以表示为：

dsoftmax(z) / dz = [p1 * (1 - p1), p2 * (1 - p2), ..., pn * (1 - pn)]

这样，我们就推导出了softmax函数的导数。