计算e的近似值用求极限

可以使用以下极限公式来计算e的近似值：

lim(n->∞) (1 + 1/n)^n = e

其中n为一个趋近于无穷大的正整数，^表示幂次方运算。该极限公式是自然对数e的定义之一。

当n取到较大的值时，(1 + 1/n)^n的结果会越来越接近e的真实值。通常情况下，当n取到100或以上时，计算结果已经足够接近e的真实值了。

相关问题

试推导计算积分 I_{n}=e^{-1} \int _{0}^{1}x^{n}e^{x}dx,n=0,1, \cdots 的递推公式，用MATLAB 编程计算定积分的近似值，结果保留 4 位有效数字，讨论计算公式的数值稳定性.

在数学上，要推导这个积分的递推公式 \(I_n = e^{-1} \int_0^1 x^n e^x dx\)（其中 n 从 0 到无穷），我们可以采用分部积分法。对于 \(n > 0\)，设 \(u = x^n\)，\(dv = e^x dx\)，则有 \(du = nx^{n-1} dx\) 和 \(v = e^x\)。应用分部积分规则得到：

\[ I_n = [x^n e^x]_0^1 - n \int_0^1 x^{n-1} e^x dx \]
简化得：
\[ I_n = e - n I_{n-1} \]

对于 \(n = 0\) 的初始条件，直接计算 \(I_0 = e^{-1} \int_0^1 e^x dx = e^{-1}(e - 1)\)。

现在我们使用 MATLAB 来编写程序计算定积分的近似值，并保持 4 位有效数字：

function In = compute_integral(n)
    % 定义函数的极限和步长
    a = 0;
    b = 1;
    h = (b - a) / 1000; % 使用足够小的步长提高精度

    % 初始化递归序列
    In(0) = exp(-1) * (exp(a) - 1);
    
    for i = 1:n
        In(i) = exp(-1) * (b^i * exp(b) - a^i * exp(a)) - i * h * In(i - 1);
    end
    
    % 结果四舍五入到四位有效数字
    In = round(In', 4);
end

% 计算前几个 n 值的结果
n_values = 0:5; % 可自定义更多项
integral_approximations = zeros(size(n_values));
for i = 1:length(n_values)
    integral_approximations(i) = compute_integral(n_values(i));
end

% 输出结果及数值稳定性分析（省略）

关于数值稳定性，递推公式中的乘法和减法运算都是线性的，理论上不会导致数值爆炸或渐进误差。然而，随着 n 的增加，指数项会变得非常大，如果步长选择不合适可能会造成数值溢出的风险。在实际应用中，需要根据计算机硬件限制和数据大小调整步长。数值稳定性可以通过观察随着 n 增大，近似值是否逐渐稳定来评估。你可以通过绘制 \(I_n\) 对 n 的图形，检查其收敛性和波动范围来深入探讨这一点。

习题10.20 (近似e)编程练习题5.26使用下面数列近似计算e: 为了得到更好的精度，在计算中使用25位精度的BigDecima1。编写程序，显示当i=100,200,…,1000时e的值。

题目要求你编写一个程序，使用大整数库（如Python的`decimal`模块）来精确到25位精度计算自然对数e的近似值。这个数列通常是指Euler数列，即每个项都是前一项加上1/n的形式，直到n非常大时，序列的极限接近于e。

以下是使用Python的一个示例：

from decimal import Decimal, getcontext

# 设置大数库的精度为25位
getcontext().prec = 25

def calculate_e(n):
    term = Decimal(1)
    e_approx = Decimal(2)
    
    for i in range(2, n + 1):
        term /= Decimal(i)
        e_approx += term
        
    return e_approx

for i in range(100, 1001, 100):  # 每隔100步输出一次结果
    result = calculate_e(i)
    print(f"当i={i}时，e的近似值为: {result}")

在这个程序中，我们首先设置精度到25位，然后定义了一个循环，从2开始逐次增加，每次迭代都将当前项添加到e的近似值上，并更新剩余部分。最后，当i等于100、200等时，输出对应的e的近似值。