卡尔曼滤波的五个公式
时间: 2024-03-01 16:47:42 浏览: 195
卡尔曼滤波的五个基本公式如下[^1][^1]:
1. 预测步骤(时间更新):
- 状态预测方程:根据系统的上一状态的预测值和系统的动态模型,预测当前状态的值。
- 协方差预测方程:根据上一状态的协方差矩阵和系统的动态模型,预测当前状态的协方差矩阵。
2. 更新步骤(测量更新):
- 卡尔曼增益方程:根据预测的状态和测量的值,计算卡尔曼增益,用于调整预测的状态和测量的值之间的权重。
- 状态更新方程:根据卡尔曼增益和测量的值,更新预测的状态值。
- 协方差更新方程:根据卡尔曼增益和预测的协方差矩阵,更新当前状态的协方差矩阵。
这五个公式是卡尔曼滤波器的核心,通过预测和更新步骤,卡尔曼滤波器能够根据系统的动态模型和测量的值,估计出最优的状态值和协方差矩阵。
相关问题
扩展卡尔曼滤波五个标准公式
当谈到扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter,EKF)时,通常涉及以下五个标准公式:
1. 预测状态:
$\hat{x}^{-} = f(\hat{x}_{t-1}^{+}, u_t)$
这个公式用于预测系统的状态。$\hat{x}_{t-1}^{+}$是上一时刻的状态估计,$u_t$是控制输入。函数$f$表示状态转移方程。
2. 预测协方差:
$P^{-} = F_t P_{t-1}^{+} F_t^T + Q_t$
该公式用于预测状态估计的协方差。$F_t$是状态转移方程的雅可比矩阵(Jacobian Matrix),$P_{t-1}^{+}$是上一时刻的协方差估计,$Q_t$是过程噪声的协方差矩阵。
3. 更新卡尔曼增益:
$K_t = P^{-} H_t^T (H_t P^{-} H_t^T + R_t)^{-1}$
这个公式用于计算更新步骤中的卡尔曼增益。$H_t$是观测方程的雅可比矩阵,$R_t$是观测噪声的协方差矩阵。
4. 更新状态:
$\hat{x}_t^{+} = \hat{x}^{-} + K_t (z_t - h(\hat{x}^{-}))$
该公式用于更新状态估计。$z_t$是实际观测值,$h(\hat{x}^{-})$是状态估计的观测值。
5. 更新协方差:
$P_t^{+} = (I - K_t H_t) P^{-}$
这个公式用于更新协方差估计,其中$I$是单位矩阵。
这些公式是扩展卡尔曼滤波的基本方程,用于实现状态估计的预测和更新步骤。请注意,实际应用中,还可能有一些具体的变体和改进的公式,以适应特定的问题和系统模型。
卡尔曼滤波的详解公式推导
根据提供的引用内容,卡尔曼滤波可分为线性卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波、级联式和联邦式卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波等。下面将详细阐述卡尔曼滤波的原理。
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的递归滤波器,它基于系统的动力学模型和观测模型,通过融合系统的预测和测量信息来估计系统的状态。卡尔曼滤波的基本思想是通过对系统状态的不确定性进行建模,并根据系统的动力学和观测模型来更新状态的估计。
卡尔曼滤波的推导可以分为两个步骤:预测步骤和更新步骤。
1. 预测步骤:
在预测步骤中,根据系统的动力学模型,通过状态转移方程对系统的状态进行预测。预测步骤的公式如下:
预测状态估计:$\hat{x}_{k|k-1} = F_k \hat{x}_{k-1|k-1} + B_k u_k$
预测误差协方差:$P_{k|k-1} = F_k P_{k-1|k-1} F_k^T + Q_k$
2. 更新步骤:
在更新步骤中,根据观测模型,通过测量更新系统的状态估计。更新步骤的公式如下:
测量残差:$y_k = z_k - H_k \hat{x}_{k|k-1}$
测量残差协方差:$S_k = H_k P_{k|k-1} H_k^T + R_k$
卡尔曼增益:$K_k = P_{k|k-1} H_k^T S_k^{-1}$
更新状态估计:$\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k y_k$
更新误差协方差:$P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1}$
其中,$F_k$是状态转移矩阵,$B_k$是控制输入矩阵,$u_k$是控制输入向量,$Q_k$是过程噪声协方差矩阵,$H_k$是观测矩阵,$R_k$是观测噪声协方差矩阵,$z_k$是测量向量,$\hat{x}_{k|k-1}$是预测状态估计,$P_{k|k-1}$是预测误差协方差,$\hat{x}_{k|k}$是更新状态估计,$P_{k|k}$是更新误差协方差,$y_k$是测量残差,$S_k$是测量残差协方差,$K_k$是卡尔曼增益。
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