扩展卡尔曼滤波公式推导

时间: 2023-09-16 20:14:48 浏览: 64
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的递归滤波器。它通过结合系统动态模型和观测数据来提供对状态的最优估计。下面是卡尔曼滤波的公式推导过程: 1. 系统模型: 状态方程:x_k = F_k * x_{k-1} + B_k * u_k + w_k 观测方程:z_k = H_k * x_k + v_k 其中,x_k表示系统在时间步k时的状态向量,u_k表示控制输入,z_k表示观测向量。 F_k是状态转移矩阵,描述系统状态从时间步k-1到时间步k的演化关系。 B_k是控制输入矩阵,描述控制输入对系统状态的影响。 w_k是系统过程噪声,假设其均值为0,协方差矩阵为Q_k。 H_k是观测矩阵,描述观测向量与系统状态之间的关系。 v_k是观测噪声,假设其均值为0,协方差矩阵为R_k。 2. 预测步骤(时间更新): 根据上一时刻的状态估计x_{k-1}和控制输入u_{k-1},通过状态转移矩阵F_k和控制输入矩阵B_k进行状态预测: x_{k}^- = F_k * x_{k-1} + B_k * u_{k-1} 同时,计算预测误差协方差矩阵P_{k}^-: P_{k}^- = F_k * P_{k-1} * F_k^T + Q_k 3. 更新步骤(测量更新): 根据当前观测向量z_k,通过观测矩阵H_k对预测状态进行观测估计: y_k = z_k - H_k * x_{k}^- 计算观测残差协方差矩阵S_k: S_k = H_k * P_{k}^- * H_k^T + R_k 计算卡尔曼增益K_k: K_k = P_{k}^- * H_k^T * S_k^{-1} 更新状态估计值: x_{k} = x_{k}^- + K_k * y_k 更新误差协方差矩阵: P_{k} = (I - K_k * H_k) * P_{k}^- 其中,^-表示预测值,而没有^-表示更新值。 以上就是卡尔曼滤波的公式推导过程。通过递归地进行预测和更新步骤,卡尔曼滤波能够对系统状态进行最优估计。请注意,以上推导过程是基于线性系统和高斯噪声的情况,对于非线性系统还需要进行扩展,例如使用扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter)或无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter)等方法。

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