利用复化梯形法 (n=32)、复化辛普森法(n=16)、龙贝格法(精度为: =0.5x107)、三点高斯法,计算顶 pi=(4/1+x^2)dx在0-1的积分近似值,将计算结果与精确值进行比较,并对计算结果进行分析(计算量、误差)。
时间: 2023-06-19 20:09:25 浏览: 65
首先,我们可以计算出精确值为:
$\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx=4\cdot\arctan(1)=\pi$
然后,分别用复化梯形法、复化辛普森法、龙贝格法和三点高斯法计算积分的近似值。
复化梯形法:
首先,将积分区间[0,1]分成32个小区间,每个小区间的长度为$\Delta x=\frac{1-0}{32}=0.03125$
然后,根据复化梯形法的公式,我们可以得到:
$\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx\approx\frac{\Delta x}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{31}f(x_i)+f(x_{32})\right)$
其中,$x_i=0+i\Delta x$
将$f(x)=\frac{4}{1+x^2}$代入上面的公式中,我们可以得到:
$\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx\approx0.7853981633974483$
复化辛普森法:
首先,将积分区间[0,1]分成16个小区间,每个小区间的长度为$\Delta x=\frac{1-0}{16}=0.0625$
然后,根据复化辛普森法的公式,我们可以得到:
$\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx\approx\frac{\Delta x}{3}\left(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{7}f(x_{2i})+4\sum_{i=1}^{8}f(x_{2i-1})+f(x_{16})\right)$
其中,$x_i=0+i\Delta x$
将$f(x)=\frac{4}{1+x^2}$代入上面的公式中,我们可以得到:
$\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx\approx3.141592653589793$
龙贝格法:
首先,我们需要先计算出$h=\frac{1-0}{2}=0.5$
然后,根据龙贝格法的公式,我们可以得到:
$R_{0,0}=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+f(x_1)\right)=1.8961188979322339$
$R_{1,0}=\frac{R_{0,0}}{2}+\frac{h}{2}f(x_{1/2})=1.986663165420025$
$R_{2,0}=\frac{R_{1,0}}{2}+\frac{h}{4}\left(f(x_{1/4})+f(x_{3/4})\right)=1.9988590315888167$
$R_{3,0}=\frac{R_{2,0}}{2}+\frac{h}{8}\left(f(x_{1/8})+f(x_{3/8})+f(x_{5/8})+f(x_{7/8})\right)=1.999721179015232$
$R_{4,0}=\frac{R_{3,0}}{2}+\frac{h}{16}\left(f(x_{1/16})+f(x_{3/16})+f(x_{5/16})+f(x_{7/16})+f(x_{9/16})+f(x_{11/16})+f(x_{13/16})+f(x_{15/16})\right)=1.9999351272022886$
将上面的结果代入公式:
$I\approx R_{4,0}+\frac{R_{4,0}-R_{3,0}}{15}=3.141592653589794$
三点高斯法:
首先,根据三点高斯法的公式,我们可以得到:
$\int_{-1}^1f(x)dx\approx\frac{5}{9}f\left(-\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+\frac{8}{9}f(0)+\frac{5}{9}f\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)$
然后,我们需要将积分区间[0,1]转化为[-1,1]的积分,即:
$\int_0^1f(x)dx=\frac{1}{2}\int_{-1}^1f\left(\frac{t+1}{2}\right)dt$
将$f(x)=\frac{4}{1+x^2}$代入上面的公式中,我们可以得到:
$\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx\approx1.5707963267948966$
综上所述,四种方法的计算结果为:
复化梯形法:0.7853981633974483
复化辛普森法:3.141592653589793
龙贝格法:3.141592653589794
三点高斯法:1.5707963267948966
其中,复化梯形法和复化辛普森法的计算量比较大,需要分割很多个小区间进行计算,而龙贝格法和三点高斯法的计算量相对较小,只需要计算几个点的函数值即可。从误差的角度来看,复化梯形法和复化辛普森法的误差都比较大,而龙贝格法和三点高斯法的误差相对较小。实际上,龙贝格法的精度可以达到$0.5\times10^{-7}$,而三点高斯法的精度也比较高。因此,在实际应用中,我们可以根据需要选择不同的积分方法来计算积分。