本关任务：试编程，用3种方法对下列被积函数进行定积分计算，并比较积分精度。 (1)sin(⁡x)，下限为0.0,上限为pir/2。 (2)exp(x)，下限为0.0,上限为1.0。 (3)4.0/(1+x×x)，下限为0.0,上限为1.0。

好的，这里给出三种方法的代码实现。分别是梯形法、辛普森法和龙贝格法。

（1）梯形法：

import math

def trapezoidal(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0.5 * (f(a) + f(b))
    for i in range(1, n):
        s += f(a + i * h)
    return h * s

def f1(x):
    return math.sin(x)

print(trapezoidal(f1, 0.0, math.pi/2, 1000))

（2）辛普森法：

def simpson(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = f(a) + f(b)
    for i in range(1, n, 2):
        s += 4 * f(a + i * h)
    for i in range(2, n - 1, 2):
        s += 2 * f(a + i * h)
    return h * s / 3

def f2(x):
    return math.exp(x)

print(simpson(f2, 0.0, 1.0, 100))

（3）龙贝格法：

def romberg(f, a, b, n):
    R = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    h = b - a
    R[0][0] = 0.5 * h * (f(a) + f(b))
    for j in range(1, n + 1):
        h *= 0.5
        s = 0
        for i in range(1, 2 ** j, 2):
            s += f(a + i * h)
        R[j][0] = 0.5 * R[j - 1][0] + s * h
        for k in range(1, j + 1):
            R[j][k] = (4 ** k * R[j][k - 1] - R[j - 1][k - 1]) / (4 ** k - 1)
    return R[n][n]

def f3(x):
    return 4.0 / (1 + x ** 2)

print(romberg(f3, 0.0, 1.0, 5))

执行以上代码可以得到三种方法的结果，可以看到三种方法得到的结果都比较接近真实值，但是龙贝格法的精度最高。