给定一个连续函数以及积分区间，编写程序计算它的定积分（至少两种积分方法），比较不同方法的精度及误差。C++

下面是两种积分方法的实现：

方法一：梯形法

梯形法是一种比较简单的数值积分方法，它的基本思想是将一个区间分成若干个小梯形，然后计算这些小梯形的面积之和，从而得到区间上函数的积分值。

下面是梯形法的 C++ 代码实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x) {
    return sin(x);
}

double trapezoidal(double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n;
    double sum = 0.5 * (f(a) + f(b));
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        double x = a + i * h;
        sum += f(x);
    }
    return sum * h;
}

int main() {
    double a = 0, b = 3.14159265358979323846;
    int n = 1000;
    double exact = 2.0;
    double approx = trapezoidal(a, b, n);
    double error = fabs(approx - exact);
    cout << "Exact value: " << exact << endl;
    cout << "Approximate value: " << approx << endl;
    cout << "Error: " << error << endl;
    return 0;
}

方法二：辛普森法

辛普森法是一种更加精确的数值积分方法，它的基本思想是将一个区间分成若干个小梯形和小三角形，然后计算这些小梯形和小三角形的面积之和，并且对于每一个小梯形和小三角形，都假设它们的函数值为一个二次多项式，从而得到区间上函数的积分值。

下面是辛普森法的 C++ 代码实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x) {
    return sin(x);
}

double simpson(double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n;
    double sum1 = 0, sum2 = 0;
    for (int i = 1; i < n; i += 2) {
        double x = a + i * h;
        sum1 += f(x);
    }
    for (int i = 2; i < n; i += 2) {
        double x = a + i * h;
        sum2 += f(x);
    }
    return (f(a) + f(b) + 4 * sum1 + 2 * sum2) * h / 3;
}

int main() {
    double a = 0, b = 3.14159265358979323846;
    int n = 1000;
    double exact = 2.0;
    double approx = simpson(a, b, n);
    double error = fabs(approx - exact);
    cout << "Exact value: " << exact << endl;
    cout << "Approximate value: " << approx << endl;
    cout << "Error: " << error << endl;
    return 0;
}

我们可以通过改变 n 的值来比较不同方法的精度及误差。一般来说，n 越大，计算出来的积分值越精确，但是计算的时间也会更长。