3.五种可能结果 A1,..., A5 随机出现，其概率分别为 0.3, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1，则平均信息量为何？若使用 0, 1 对五种结果进行编码，平均最短长度为何？

### 回答1：
平均信息量可以通过每种结果的概率乘以其对应的信息量（以比特为单位）之和来计算。信息量的公式为$I = -log_2P$，其中 $P$ 为结果发生的概率。

因此，平均信息量为：

$I_{avg} = 0.3\times(-log_2(0.3)) + 0.3\times(-log_2(0.3)) + 0.2\times(-log_2(0.2)) + 0.1\times(-log_2(0.1)) + 0.1\times(-log_2(0.1)) \approx 1.846$

平均最短长度是指使用最短的编码方式对每个结果进行编码所需要的比特数的平均值。在这个问题中，使用 0 和 1 对五种结果进行编码，可以采用前缀编码的方式，即保证任何一个编码都不是另一个编码的前缀。

根据霍夫曼编码的原理，我们可以将概率较高的结果用较短的编码表示，概率较低的结果用较长的编码表示。因此，可以得到如下编码：

A1：0
A2：1
A3：10
A4：110
A5：111

平均最短长度为：

$L_{avg} = 0.3\times1 + 0.3\times1 + 0.2\times2 + 0.1\times3 + 0.1\times3 = 1.7$

因此，使用这个编码方案可以实现比平均信息量更短的编码。

### 回答2：
平均信息量可以通过公式I = -log2(P)来计算，其中P为概率。根据给定的概率，我们可以计算出每个结果的信息量如下：

A1的信息量：I1 = -log2(0.3) ≈ 1.737
A2的信息量：I2 = -log2(0.3) ≈ 1.737
A3的信息量：I3 = -log2(0.2) ≈ 2.322
A4的信息量：I4 = -log2(0.1) ≈ 3.322
A5的信息量：I5 = -log2(0.1) ≈ 3.322

平均信息量可以通过所有结果的信息量的加权平均来计算，其公式为：

平均信息量 = P1 * I1 + P2 * I2 + P3 * I3 + P4 * I4 + P5 * I5

带入给定的概率，我们可以计算出平均信息量：

平均信息量 = 0.3 * 1.737 + 0.3 * 1.737 + 0.2 * 2.322 + 0.1 * 3.322 + 0.1 * 3.322 ≈ 1.896

如果使用0和1对五种结果进行编码，最短长度是1位。这是因为这五种结果的概率之和为1，可以通过一个二进制位来表示这五种结果中的一种。确切地说，概率高的A1和A2可以用0位表示，而概率较低的A3、A4和A5可以用1位表示。因此，平均最短长度是1位。

### 回答3：
平均信息量是指一个事件发生所携带的平均信息量。根据信息论的公式，平均信息量可以通过对每种结果乘以其概率的对数得到。

平均信息量 = (概率A1 * log2(概率A1)) + (概率A2 * log2(概率A2)) + (概率A3 * log2(概率A3)) + (概率A4 * log2(概率A4)) + (概率A5 * log2(概率A5))

代入概率值计算可得：
平均信息量 = (0.3 * log2(0.3)) + (0.3 * log2(0.3)) + (0.2 * log2(0.2)) + (0.1 * log2(0.1)) + (0.1 * log2(0.1))

平均信息量 ≈ -0.524 + (-0.524) + (-0.464) + (-0.332) + (-0.332) ≈ -2.176

所以，平均信息量为-2.176。

对五种结果进行编码时，我们可以使用0、1进行编码，每个结果对应的编码长度不同。为了使平均最短长度足够短，我们可以将概率较高的结果用较短的编码表示。

根据霍夫曼编码的原理，我们可以对五种结果进行编码，使得编码长度足够短：
A1：0
A2：10
A3：110
A4：1110
A5：1111

根据上述编码，每种结果的编码长度分别为1，2，3，4，4：

平均最短长度 = (概率A1 * 编码长度A1) + (概率A2 * 编码长度A2) + (概率A3 * 编码长度A3) + (概率A4 * 编码长度A4) + (概率A5 * 编码长度A5)

代入概率值和编码长度计算可得：
平均最短长度 = (0.3 * 1) + (0.3 * 2) + (0.2 * 3) + (0.1 * 4) + (0.1 * 4) = 0.3 + 0.6 + 0.6 + 0.4 + 0.4 = 2.3

所以，平均最短长度为2.3。