高斯格归约算法的实现与分析

高斯格归约算法是一种用于解决线性方程组的算法，其核心思想是通过初等行变换将矩阵变形为一个简化的上三角矩阵，从而解出方程组的解。以下是高斯格归约算法的实现步骤：

1. 首先将系数矩阵和常数向量合并成一个增广矩阵。
2. 对于每一列，选取主元素（即该列中绝对值最大的元素），并将其作为该列的第一个元素。
3. 使用初等行变换将该列主元素的下方元素全部消为零。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有列都被处理过为止。
5. 对于最后一行，计算出未知量的值。

以下是一个示例线性方程组的求解过程：

2x + 3y - z = 1
4x - 7y + 2z = -5
x + 5y - z = 0

将系数矩阵和常数向量合并成增广矩阵：

[ 2  3 -1 |  1 ]
[ 4 -7  2 | -5 ]
[ 1  5 -1 |  0 ]

选取第一列中的主元素4，并将其作为该列的第一个元素：

[ 4 -7  2 | -5 ]
[ 2  3 -1 |  1 ]
[ 1  5 -1 |  0 ]

使用初等行变换将第一列主元素下方的元素全部消为零：

[ 4 -7  2 | -5 ]
[ 0 17 -5 | 11 ]
[ 0 12 -3 |  5 ]

选取第二列中的主元素17，并将其作为该列的第一个元素：

[ 4 -7  2 | -5 ]
[ 0 17 -5 | 11 ]
[ 0 12 -3 |  5 ]

使用初等行变换将第二列主元素下方的元素全部消为零：

[ 4 -7  2 | -5 ]
[ 0 17 -5 | 11 ]
[ 0  0  1 |  1 ]

选取第三列中的主元素1，并将其作为该列的第一个元素：

[ 4 -7  2 | -5 ]
[ 0 17 -5 | 11 ]
[ 0  0  1 |  1 ]

计算出未知量的值：

z = 1
17y - 5z = 11 => y = 2
4x - 7y + 2z = -5 => x = -1

因此，线性方程组的解为`(x, y, z) = (-1, 2, 1)`。

高斯格归约算法的时间复杂度为$O(n^3)$，其中$n$为方程组的未知量个数。虽然该算法在实际中可能面临矩阵奇异性和舍入误差等问题，但在大多数情况下，它仍然是解线性方程组的一种高效方法。