2. 令 y = y(x)，求解带初值的微分方程： (1 − x)y ′′ = 1 5 √ 1 + y ′2, y(0) = 0, y ′ (0) = 0.

首先，将微分方程化为标准形式：

y′′ = (1/ (1-x)) * (1/5) * √(1+y′²)

设 u = y′，则原方程可化为：

u′ = (1/(1-x)) * (1/5) * √(1+u²)

将变量分离，得：

(1+u²)^(-1/2) du = (1/(5(1-x))) dx

对两边同时积分，得：

∫(1+u²)^(-1/2) du = (1/5) ∫(1-x)^(-1) dx

令 t = arctan(u)，则有：

du = (1/(1+u²)) dt

代入上式得：

∫(1+u²)^(-1/2) du = ∫cos(t) dt = sin(t) + C1

其中 C1 为常数。

继续计算右边的积分：

∫(1-x)^(-1) dx = -ln(1-x) + C2

其中 C2 为常数。

将 C1 和 C2 代入原方程得：

sin(arctan(y′)) = (1/5)(-ln(1-x)) + C

其中 C = C1 + C2 是常数。

由题目可知，y(0) = 0，y′(0) = 0，代入上式得：

sin(arctan(0)) = (1/5)(-ln(1-0)) + C

C = 0

因此，原方程的通解为：

sin(arctan(y′)) = (1/5)(-ln(1-x))

化简得：

y′ = tan(sin((1/5)(-ln(1-x))))

再次积分得：

y = ∫tan(sin((1/5)(-ln(1-x)))) dx

但是，这个积分没有解析解，因此只能用数值方法求解。

相关问题

2．令 y = y ( x )，求解带初值的微分方程： |(1- x )/"=|√1+v2 y (0)=0, y (0)=0.

首先将微分方程化为标准形式：

dy/dx = √(1+v^2)/(1-x)

然后，我们可以使用分离变量法来解决这个微分方程：

∫1/√(1+v^2) dv = ∫dx/(1-x)

令 u = 1+v^2，那么 du/dv = 2v，所以 dv = du/2v

将此代入上式，得到：

1/2 ∫1/√u du = -ln|1-x|

√u = C -ln|1-x|

其中 C 是积分常数。现在，我们使用初始条件 y(0) = 0 来求解常数 C：

√1+C = -ln|1-0|

√1+C = -ln|1| = 0

因此，C = 0，我们得到：

√(1+v^2) = -ln|1-x|

解出 v：

v = √(e^(ln|1-x|)^2 - 1)

最后，我们使用初始条件 y(0) = 0 来解出 y(x)：

y(x) = ∫0^x √(1+v^2)/(1-t) dt

将 v 的表达式代入上式，进行积分计算即可。

1. 求解带初值的微分方程：    dx dt + 2 100 + t x = 0.03, x(0) = 10.

这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先，将方程转化为标准形式：$\frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t)$，其中$p(t)=\frac{1}{t+200}$，$q(t)=0.03$。

接下来，求出齐次方程的通解：$\frac{dx}{dt}+p(t)x=0$。这是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。将方程改写为$\frac{dx}{x}=-p(t)dt$，然后两边同时积分得到$\ln|x|=-\ln|t+200|+C$，其中$C$为常数。解出$x$得到$x=C_1(t+200)^{-1}$，其中$C_1$为常数。

接下来，求出非齐次方程的一个特解。由于$q(t)$为常数，所以我们猜测一个常数解$x_0=a$，将其代入原方程得到$2a+0.03=0$，解得$a=-0.015$。因此，非齐次方程的一个特解为$x_0=-0.015$。

最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解相加得到原方程的通解：$x=C_1(t+200)^{-1}-0.015$。

根据初值条件$x(0)=10$，代入通解得到$C_1=10.015$。因此，方程的解为$x=10.015(t+200)^{-1}-0.015$。