2. 令 y = y(x),求解带初值的微分方程: (1 − x)y ′′ = 1 5 √ 1 + y ′2, y(0) = 0, y ′ (0) = 0.
时间: 2023-11-19 19:04:20 浏览: 38
首先,将微分方程化为标准形式:
y′′ = (1/ (1-x)) * (1/5) * √(1+y′²)
设 u = y′,则原方程可化为:
u′ = (1/(1-x)) * (1/5) * √(1+u²)
将变量分离,得:
(1+u²)^(-1/2) du = (1/(5(1-x))) dx
对两边同时积分,得:
∫(1+u²)^(-1/2) du = (1/5) ∫(1-x)^(-1) dx
令 t = arctan(u),则有:
du = (1/(1+u²)) dt
代入上式得:
∫(1+u²)^(-1/2) du = ∫cos(t) dt = sin(t) + C1
其中 C1 为常数。
继续计算右边的积分:
∫(1-x)^(-1) dx = -ln(1-x) + C2
其中 C2 为常数。
将 C1 和 C2 代入原方程得:
sin(arctan(y′)) = (1/5)(-ln(1-x)) + C
其中 C = C1 + C2 是常数。
由题目可知,y(0) = 0,y′(0) = 0,代入上式得:
sin(arctan(0)) = (1/5)(-ln(1-0)) + C
C = 0
因此,原方程的通解为:
sin(arctan(y′)) = (1/5)(-ln(1-x))
化简得:
y′ = tan(sin((1/5)(-ln(1-x))))
再次积分得:
y = ∫tan(sin((1/5)(-ln(1-x)))) dx
但是,这个积分没有解析解,因此只能用数值方法求解。
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