3. 求解带初值的微分方程： dN dt = k(K − N)N, N(0) = N0.

这是一个经典的 Logistic 方程，可以使用分离变量法求解。

首先将方程化为标准形式：

dN/dt = k(N-K)N

将右边的 N-K 提取出来：

dN/dt = -k(N-K)(K-N)

将右边的 (K-N) 乘以 -1，得：

dN/dt = k(N-K)(N-K)

再将方程变形：

dN/(N-K)^2 = k dt

对两边同时积分，得：

∫dN/(N-K)^2 = ∫k dt

左边的积分可以用分式分解计算：

∫dN/(N-K)^2 = -1/(N-K) + C1

其中 C1 为常数。

右边的积分得：

∫k dt = kt + C2

其中 C2 为常数。

将 C1 和 C2 代入原方程的通解中，得：

-1/(N-K) + C1 = kt + C2

移项得：

N(t) = K + (N0-K)/(N0-K+e^(-kt)(K-N0))

其中 N0 = N(0) 是初始值。

这就是 Logistic 方程的解。该解描述了在资源有限的情况下，种群数量随时间的变化规律。随着时间的推移，种群数量会逐渐趋近于稳定值 K。

相关问题

1. 求解带初值的微分方程：    dx dt + 2 100 + t x = 0.03, x(0) = 10.

这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先，将方程转化为标准形式：$\frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t)$，其中$p(t)=\frac{1}{t+200}$，$q(t)=0.03$。

接下来，求出齐次方程的通解：$\frac{dx}{dt}+p(t)x=0$。这是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。将方程改写为$\frac{dx}{x}=-p(t)dt$，然后两边同时积分得到$\ln|x|=-\ln|t+200|+C$，其中$C$为常数。解出$x$得到$x=C_1(t+200)^{-1}$，其中$C_1$为常数。

接下来，求出非齐次方程的一个特解。由于$q(t)$为常数，所以我们猜测一个常数解$x_0=a$，将其代入原方程得到$2a+0.03=0$，解得$a=-0.015$。因此，非齐次方程的一个特解为$x_0=-0.015$。

最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解相加得到原方程的通解：$x=C_1(t+200)^{-1}-0.015$。

根据初值条件$x(0)=10$，代入通解得到$C_1=10.015$。因此，方程的解为$x=10.015(t+200)^{-1}-0.015$。

2. 令 y = y(x)，求解带初值的微分方程： (1 − x)y ′′ = 1 5 √ 1 + y ′2, y(0) = 0, y ′ (0) = 0.

首先，将微分方程化为标准形式：

y′′ = (1/ (1-x)) * (1/5) * √(1+y′²)

设 u = y′，则原方程可化为：

u′ = (1/(1-x)) * (1/5) * √(1+u²)

将变量分离，得：

(1+u²)^(-1/2) du = (1/(5(1-x))) dx

对两边同时积分，得：

∫(1+u²)^(-1/2) du = (1/5) ∫(1-x)^(-1) dx

令 t = arctan(u)，则有：

du = (1/(1+u²)) dt

代入上式得：

∫(1+u²)^(-1/2) du = ∫cos(t) dt = sin(t) + C1

其中 C1 为常数。

继续计算右边的积分：

∫(1-x)^(-1) dx = -ln(1-x) + C2

其中 C2 为常数。

将 C1 和 C2 代入原方程得：

sin(arctan(y′)) = (1/5)(-ln(1-x)) + C

其中 C = C1 + C2 是常数。

由题目可知，y(0) = 0，y′(0) = 0，代入上式得：

sin(arctan(0)) = (1/5)(-ln(1-0)) + C

C = 0

因此，原方程的通解为：

sin(arctan(y′)) = (1/5)(-ln(1-x))

化简得：

y′ = tan(sin((1/5)(-ln(1-x))))

再次积分得：

y = ∫tan(sin((1/5)(-ln(1-x)))) dx

但是，这个积分没有解析解，因此只能用数值方法求解。