牛顿法求二维极小值matlab

### 使用 MATLAB 实现牛顿法求解二维函数极小值

为了实现这一目标，可以定义一个包含目标函数、梯度（雅克比矩阵）、以及海森矩阵的辅助函数。下面是一个具体的例子：

#### 辅助函数定义

function [f_val, f_grad_val, f_hess_val] = V_func(x_val, y_val)
syms x y;
% 定义具体的目标函数形式
f = (x-2)^4 + ((x-2)^2)*(y^2) + (y+1)^2;

% 计算该函数关于变量[x; y]的一阶偏导数构成的向量即为梯度
f_grad = jacobian(f, [x; y]);

% 对上述梯度再次求导获得二阶导数组成的矩阵即为海森矩阵
f_hess = jacobian(f_grad, [x, y]);

% 将符号表达式的计算结果转换为数值型数据返回给调用者
f_val = double(subs(f, {x, y}, {x_val, y_val}));
f_grad_val = double(subs(f_grad, {x, y}, {x_val, y_val})).';
f_hess_val = double(subs(f_hess, {x, y}, {x_val, y_val}));
end

此部分代码创建了一个名为 `V_func` 的函数文件用于提供目标函数及其对应的梯度和海森矩阵的信息。

#### 主程序逻辑
接下来编写主脚本以执行实际的新顿迭代过程:

clear all;
close all;
clc;

max_iter = 100; % 设置最大允许迭代次数
tolerance = 1e-8; % 设定收敛精度阈值
initial_point = [-1 ; -1]; % 初始猜测点的选择

current_point = initial_point;
for iter_num = 1:max_iter
    
    [~, gradient, hessian] = V_func(current_point(1), current_point(2));
    
    if norm(gradient)<tolerance
        break;
    end
    
    delta_x = -hessian\gradient; % 解决 H * dx=-g 得到更新增量dx
    current_point = current_point + delta_x; % 更新当前位置
    
    fprintf('Iteration:%d\n',iter_num);
    disp(['Current Point:', num2str(current_point')]);
end

if(iter_num<max_iter)
    disp('Converged!');
else
    warning('Did not converge within max iterations');
end
fprintf('Final point is [%f,%f]\n',current_point);

这段代码实现了完整的牛顿法流程，在每次循环中通过求解线性方程组 \(H \Delta x = -g\) 来获取下一步应该移动的方向与距离，并据此调整当前估计的位置直到满足停止条件为止[^3]。