已知象函数F（s）=s/（s²+2s+5），求原函数f(t)

要求原函数 f(t)，我们需要对函数 F(s) 进行积分。首先，我们可以将 s 替换为 t，并记住 dt = ds。

令 F(s) = s / (s² + 2s + 5) 和 f(t) = ∫ F(s) ds。

现在，我们需要找到 F(s) 的分母的因式分解。计算 s² + 2s + 5 的根：

s² + 2s + 5 = (s + 1)² + 4

根据完全平方公式，(s + 1)² + 4 ≥ 4，因此分母没有实根。这意味着我们无法进行部分分数分解。

接下来，我们可以尝试使用换元法来解决这个积分。让 u = s² + 2s + 5，那么 du = (2s + 2) ds。

将 u 和 du 替换回到原函数 f(t) 中：

f(t) = ∫ (s / (s² + 2s + 5)) ds
= ∫ (1 / (2(u - 4))) du
= (1/2) * ln|u - 4| + C

最后，将 u 替换回到 s 的形式：

f(t) = (1/2) * ln|s² + 2s + 5 - 4| + C
= (1/2) * ln|s² + 2s + 1| + C

因此，原函数 f(t) = (1/2) * ln|s² + 2s + 1| + C。