请给出下列题目的详细计算过程及最终结果 1.设Z为整数集, R={(x,y)|x,y∈Z ,x-y被5整除},证明R是等价关系且求Z/R. 2.给定集合 A={1,2,3,4,5},找出A上的等价关系R,此关系R能产生划分{{1,2},{3},{4,5}},并画出关系图,写出关系矩阵

1. 首先证明R是等价关系，需要证明以下三点：
（1）自反性：对于任意整数x，x-x=0可以被5整除，因此(x,x)∈R，即R是自反的；
（2）对称性：对于任意整数x和y，如果x-y能被5整除，那么y-x也能被5整除，因此若(x,y)∈R，则(y,x)∈R，即R是对称的；
（3）传递性：对于任意整数x、y、z，如果x-y能被5整除，y-z能被5整除，那么x-z也能被5整除，因此若(x,y)∈R且(y,z)∈R，则(x,z)∈R，即R是传递的。
综上所述，R是等价关系。

然后求Z/R。根据等价关系的定义，Z/R是由R的等价类构成的集合。对于任意整数x，它所在的等价类可以表示为[x]={y∈Z|(x,y)∈R}，也就是所有与x在R下等价的整数构成的集合。因为x-y能被5整除，所以y=x+5k(k∈Z)。因此，[x]={x+5k|k∈Z}。也就是说，[x]是以5为周期的整数集合，例如[0]={…,-10,-5,0,5,10,…}，[1]={…,-9,-4,1,6,11,…}等等。因此，Z/R的所有等价类可以表示为{[0],[1],[2],[3],[4]}，即Z/R={{…,-10,-5,0,5,10,…},{…,-9,-4,1,6,11,…},{…,-8,-3,2,7,12,…},{…,-7,-2,3,8,13,…},{…,-6,-1,4,9,14,…}}。

2. 首先找到能产生划分{{1,2},{3},{4,5}}的等价关系R。因为1和2在同一个等价类中，所以它们之间必须有关系。同理，4和5在同一个等价类中，它们之间也必须有关系。3只能与自己在同一个等价类中。因此，可以将R定义为{(1,2),(4,5),(3,3)}。它的关系图如下所示：

     1   2
      \ /
       3
      / \
     4   5

它的关系矩阵为：

    1  2  3  4  5
   ---------------
1 | 1  1  0  0  0
2 | 1  1  0  0  0
3 | 0  0  1  0  0
4 | 0  0  0  1  1
5 | 0  0  0  1  1