给出一个吉布斯采样的具体例子
时间: 2024-01-02 14:03:38 浏览: 35
假设有一个简单的贝叶斯网络,其中包含两个二元随机变量 $A$ 和 $B$,它们的条件概率分布如下:
$$P(A=0) = 0.6, P(A=1) = 0.4$$
$$P(B=0|A=0) = 0.8, P(B=1|A=0) = 0.2$$
$$P(B=0|A=1) = 0.3, P(B=1|A=1) = 0.7$$
现在,我们使用吉布斯采样算法来抽取样本,并估计 $P(A)$ 和 $P(B)$ 的边缘概率分布。
首先,我们随机初始化样本,比如 $A=0, B=0$。
接下来,按照吉布斯采样算法的流程,我们依次对 $A$ 和 $B$ 进行采样。假设当前采样的变量为 $A$,那么我们需要根据 $P(A|B)$ 的条件概率分布计算 $A$ 的一个新取值。根据贝叶斯公式:
$$P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B|A)}{\sum_{a\in\{0,1\}}P(a)P(B|a)}$$
代入具体的数值,可以得到:
$$P(A=0|B=0) = \frac{P(A=0)P(B=0|A=0)}{P(A=0)P(B=0|A=0) + P(A=1)P(B=0|A=1)} = 0.8$$
$$P(A=1|B=0) = \frac{P(A=1)P(B=0|A=1)}{P(A=0)P(B=0|A=0) + P(A=1)P(B=0|A=1)} = 0.2$$
因此,我们以 $P(A=0|B=0)=0.8$ 的概率将 $A$ 的取值设为 0,以 $P(A=1|B=0)=0.2$ 的概率将 $A$ 的取值设为 1。
接下来,针对变量 $B$ 进行采样。根据 $P(B|A)$ 的条件概率分布:
$$P(B=0|A=0) = 0.8, P(B=1|A=0) = 0.2$$
$$P(B=0|A=1) = 0.3, P(B=1|A=1) = 0.7$$
我们可以计算出:
$$P(B=0|A=0) = 0.8, P(B=1|A=0) = 0.2$$
因此,我们以 $P(B=0|A=0)=0.8$ 的概率将 $B$ 的取值设为 0,以 $P(B=1|A=0)=0.2$ 的概率将 $B$ 的取值设为 1。
接下来,重复上述过程,直到达到设定的采样次数或样本收敛。通过多次采样,我们可以得到 $A$ 和 $B$ 的多个取值,从而估计它们的边缘概率分布。例如,如果我们进行了 $N$ 次采样,其中有 $n_A$ 次 $A=0$,$n_B$ 次 $B=0$,那么可以估计出:
$$P(A=0) \approx \frac{n_A}{N}$$
$$P(B=0) \approx \frac{n_B}{N}$$
这样,就可以使用吉布斯采样算法来估计贝叶斯网络中各个变量的概率分布。
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