考虑一种简化后的高斯混合模型, 其中高斯混合分布共由$k$个混合成分组成, 且每个混合成分拥有相同的协方差矩阵$\Sigma_i = \epsilon^2 \mathbf{I}, i \in [k]$. 假设$\exists \delta > 0$使得对于选择各个混合成分的概率有$\alpha_i \geq \delta, \forall i \in [k]$, 并且在 高斯混合聚类的迭代过程中始终有 $\|\x_i - \bds{\mu}_k\|^2 \neq \|\x_i - \bds{\mu}_{k^\prime}\|^2, \forall i \in [n], k \neq k^\prime$成立. 请证明: 随着$\epsilon^2 \to 0$, 高斯混合聚类中的$\mathbf{E}$步会收敛至$k$均值聚类算法中 簇划分的更新规则, 即每个样本点仅指派给一个高斯成分. 由此可见, $k$均值聚类算法是高斯混合聚类的一种特例.

首先，对于简化后的高斯混合模型，每个混合成分的协方差矩阵相同，即$\Sigma_i=\epsilon^2\mathbf{I}$，其中$\epsilon^2$越小，则每个混合成分的分布越集中。因此，当$\epsilon^2 \to 0$时，高斯混合分布会趋向于单个高斯分布。

在高斯混合聚类的迭代过程中，$\mathbf{E}$步是指根据当前的混合参数$\{\alpha_i,\bds{\mu}_i,\Sigma_i\}$，计算每个样本点$x_i$属于每个混合成分的后验概率$\gamma_{i,k}$。而在$k$均值聚类算法中，每个样本点只属于一个簇，因此对于每个样本点$x_i$，只能指派给一个簇，也就是只能指派给一个混合成分。

由于$\delta>0$，每个混合成分的权重$\alpha_i$均不为零，因此在高斯混合聚类的迭代过程中，每个样本点$x_i$必定会被指派给至少一个混合成分，即存在$k'$使得$\gamma_{i,k'}\neq 0$。由于题目中假设在迭代过程中始终有$\|\x_i-\bds{\mu}_k\|^2\neq\|\x_i-\bds{\mu}_{k'}\|^2$，因此每个样本点$x_i$只能被指派给一个混合成分$k$，即$\gamma_{i,k}=1$，$\gamma_{i,k'}=0$。

因此，在高斯混合聚类中，每个样本点$x_i$只能被指派给一个混合成分，这与$k$均值聚类算法中每个样本点只能被指派给一个簇的情况是一致的。因此，随着$\epsilon^2\to 0$，高斯混合聚类中的$\mathbf{E}$步会收敛至$k$均值聚类算法中簇划分的更新规则，即每个样本点仅指派给一个簇。因此，$k$均值聚类算法是高斯混合聚类的一种特例。