对于自然数集N,定义如下运算:x*y=x+y,x#. 是否为半群。y=xʸ。。试问<N,*>、<N,#>

首先，半群是指满足结合律的封闭二元运算集合。我们逐一检验一下。

对于<N,*>，我们需要检验集合中的任意两个元素x、y的运算结果是否也属于集合中。根据定义，x*y=x+y。因为自然数集合N对于加法运算是封闭的，所以x+y也一定属于N。因此，<N,*>是一个半群。

对于<N,#>，我们同样需要检验集合中的任意两个元素x、y的运算结果是否也属于集合中。根据定义，x#y=x^y。因为自然数集合N对于乘方运算不一定封闭，例如2^3=8不属于N，所以<N,#>不是一个半群。

相关问题

设<{a,b},#>为一个半群,且a#a=b,证明:a#b=b#a,b#b=b

这是一个数学问题，不是IT类问题。但我可以给出证明过程：

已知a#a=b，证明a#b=b#a。

根据半群的定义，a#b表示将a、b进行某种运算后得到的结果，且该运算满足结合律。因此可得：

a#b = a#a#b (根据a#a=b)

b#a = a#a#b (根据结合律)

将第二式中的a#a替换为b，得到：

b#a = b#b#a (根据a#a=b)

因此，a#b=b#a。

同理，可证明b#b=b。

给定两个半群U=<S ,*>和V=<T,> f:S→T 是U到V的同构。试证,若z是U的零元,则f(z)是V的 零元

首先，我们需要明确什么是半群的零元。对于半群U=<S ,*>，如果存在元素z∈S，使得对于任何元素a∈S，都有z*a=a*z=a，则称z为U的零元。

同样地，对于半群V=<T ,>，如果存在元素e∈T，使得对于任何元素b∈T，都有e>b=b>e=b，则称e为V的零元。

现在假设z是U的零元，我们需要证明f(z)是V的零元。

首先，由于f是U到V的同构，因此它是一个双射。也就是说，对于任意的s1,s2∈S，如果s1≠s2，则f(s1)≠f(s2)。这意味着f(z)≠e，因为如果f(z)=e，则对于任何元素t∈T，都有f(z) * t = t * f(z) = t * e = t，这与V的零元的定义矛盾。

接下来，我们需要证明f(z)是V的左零元和右零元。首先考虑左零元。对于任何元素b∈T，我们有：

f(z) * b = f(z * f⁻¹(b)) = f(z) * e = f(z)

因此，f(z)是V的左零元。同样地，我们可以证明f(z)是V的右零元：

b * f(z) = f(f⁻¹(b) * z) = e * f(z) = f(z)

因此，f(z)是V的右零元。

综上所述，我们证明了如果z是U的零元，则f(z)是V的零元。