设A是n阶方阵,.证明: A' Ax= AT b必有解.
时间: 2024-05-28 10:09:27 浏览: 22
这是一个矩阵论中的问题,可以用矩阵的性质来证明。首先,设矩阵A的列向量为a1, a2, ..., an,矩阵的转置为A',向量b为任意n维向量。
我们可以将该等式写成(A'Ax)'=(ATb)',即x'A'A'x = b'AT。因为A'A是一个对称矩阵,所以它一定可对角化,即存在一个正交矩阵P和一个对角矩阵D,使得A'A = PDP'。代入原等式,并考虑到正交矩阵的性质PP' = P'P = I,得到x'Dx = (P'b)'DP'x。
因为D是一个对角矩阵,可以将其对角线上的元素按从大到小排列,设其为λ1, λ2, ..., λn。由于A'A可逆,故其所有特征值都为正,即λi > 0。因此,将x取为D的对角线上每个元素的平方根的倒数,即xi = 1/√λi,那么x'Dx = 1。此时,等式左侧的x可以求得,等式右侧的(P'b)'DP'x也可以通过矩阵乘法求得。因此,该等式必有解。
因此,证毕。
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设A是n阶方阵,.证明: A' Ax= A‘ b必有解.
首先,我们将A' Ax = A' b写成一个线性方程组的形式,即:
[A' A | A' b]
现在我们可以看到,A' A是一个n x n矩阵,因为A是n阶方阵。由于A' A是一个方阵,我们可以得到:
rank(A' A) <= n
同样,A' b是一个n x 1的向量,因此:
rank([A' A | A' b]) <= n
根据线性代数的基本定理,该线性方程组有解当且仅当:
rank([A' A | A' b]) = rank(A' A) = n
因此,我们只需要证明rank(A' A) = n。
假设A的列向量线性无关,那么A的列向量张成的空间的维数为n,即A的列向量张成的空间为n维空间。
又因为A' A是一个n x n的矩阵,因此A' A的列向量张成的空间也是n维空间。
由于A' A的列向量张成的空间与A的列向量张成的空间是同一个空间,因此A' A的列向量也必须线性无关。这意味着A' A的秩为n,即rank(A' A) = n。
因此,我们可以得出结论:A' Ax = A' b必有解。
注意:上述推导假设A的列向量线性无关,如果A的列向量线性相关,则存在非零向量x使得Ax = 0,从而A' Ax = 0,这时无法证明A' Ax = A' b必有解。
8.设n阶方阵A满足:A2-A-2E=0,证明:A和 A+2E 都可逆.
首先,我们可以将原式重写为 A2 = A-2E。然后,我们可以将 A2 代入原式,得到 A(A-2E) - A-2E = 0,即 A(A-2E+A-1E) = E。因此,A 可逆,且 A-1 = A-2 + E。同样地,我们可以将 A 代入原式,得到 A2 - A-2E = 0,即 A(A+A-2E) = 2E。因此,A-2E 可逆,且 (A-2E)-1 = 1/2A。因此,A 和 A-2E 都可逆。