设A是n阶方阵，.证明: A' Ax= AT b必有解.

这是一个矩阵论中的问题，可以用矩阵的性质来证明。首先，设矩阵A的列向量为a1, a2, ..., an，矩阵的转置为A'，向量b为任意n维向量。

我们可以将该等式写成(A'Ax)'=(ATb)'，即x'A'A'x = b'AT。因为A'A是一个对称矩阵，所以它一定可对角化，即存在一个正交矩阵P和一个对角矩阵D，使得A'A = PDP'。代入原等式，并考虑到正交矩阵的性质PP' = P'P = I，得到x'Dx = (P'b)'DP'x。

因为D是一个对角矩阵，可以将其对角线上的元素按从大到小排列，设其为λ1, λ2, ..., λn。由于A'A可逆，故其所有特征值都为正，即λi > 0。因此，将x取为D的对角线上每个元素的平方根的倒数，即xi = 1/√λi，那么x'Dx = 1。此时，等式左侧的x可以求得，等式右侧的(P'b)'DP'x也可以通过矩阵乘法求得。因此，该等式必有解。

因此，证毕。