用初值问题方法求解边值问题的同伦延拓技术matlab源代码
时间: 2023-07-15 18:15:17 浏览: 52
同伦延拓方法是一种求解边值问题的有效方法。以下是一个使用MATLAB实现的例子,用于解决一维波动方程的边值问题。
```matlab
function [x,u] = homotopy(f,g,a,b,n,lambda0,lambda1,N)
% f: 主方程的右侧函数
% g: 边值函数
% a,b: 区间端点
% n: 等分数
% lambda0, lambda1: 初始和目标参数值
% N: 迭代次数
% 构造初始解
x = linspace(a,b,n)';
u = zeros(n,1);
u(1) = g(a);
u(end) = g(b);
% 迭代
for i = 1:N
lambda = lambda0 + (lambda1 - lambda0) * i / N;
u0 = u;
[A,b] = construct_matrix(f,a,b,n,lambda);
u = A \ b;
u(1) = g(a);
u(end) = g(b);
u = (1-lambda) * u + lambda * u0;
end
end
function [A,b] = construct_matrix(f,a,b,n,lambda)
h = (b-a) / (n-1);
A = zeros(n,n);
b = zeros(n,1);
for i = 2:n-1
xi = a + (i-1)*h;
A(i,i-1) = 1/h^2;
A(i,i) = -2/h^2 + lambda;
A(i,i+1) = 1/h^2;
b(i) = f(xi);
end
% 强制边界条件
A(1,1) = 1;
b(1) = 0;
A(end,end) = 1;
b(end) = 0;
end
```
这个例子使用了一个简单的显式有限差分方法来近似一维波动方程。同伦参数lambda被引入到矩阵的对角线中,从而实现了连续的解的迭代。最终解是通过线性插值来获得的,即取初始解和最终解之间的加权平均值。
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