matlab快速傅立叶变换计算卷积

### 使用MATLAB通过FFT实现卷积运算

在MATLAB中，利用快速傅里叶变换(FFT)来计算两个序列的卷积是一种高效的方法。这种方法基于频域中的乘法等效于时域中的卷积这一原理[^1]。

对于长度分别为 \( N \) 和 \( M \) 的两个离散信号 \( x[n] \) 和 \( h[n] \)，如果希望得到两者的线性卷积结果，则可以通过以下方式使用 FFT 实现：

#### 计算过程

为了确保循环卷积等于线性卷积，输入向量应当被零填充到至少 \( L = N + M - 1 \)[^2]。以下是具体的 MATLAB 代码示例：

% 定义两个待卷积的一维数组
x = randn(1, 10); % 随机生成第一个一维数组作为例子
h = randn(1, 8);  % 随机生成第二个一维数组作为例子

% 获取两者长度
N = length(x);
M = length(h);

% 设置合适的FFT点数以避免混叠效应
L = N + M - 1;

% 对原始数据进行补零处理至指定长度
X = fft([x zeros(1,L-N)]);    % X为x(n)做FFT后的结果
H = fft([h zeros(1,L-M)]);    % H为h(n)做FFT后的结果

% 执行逐元素相乘操作代表频率响应相乘
Y = X .* H;

% 反转回时域获得最终卷积输出y(t)=ifft(X*H)
y_convolved = ifft(Y,'symmetric');

% 显示原样和通过FFT方法获取的结果对比图
subplot(2,1,1), stem(conv(x,h)), title('Direct Convolution')
subplot(2,1,2), stem(real(y_convolved)), title('Convolution via FFT')

此段程序展示了如何采用 FFT 技术完成两个随机产生的有限长序列之间的卷积，并且提供了可视化比较直接卷积与通过 FFT 方法得出的结果。