1. 量子比特的么正变换：复矩阵𝑢 ∈ ℂ 2×2的矩阵元为 𝑢 = ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) 如果𝑢是特殊么正矩阵，即满足 𝑢 †𝑢 = 𝟏2×2, det 𝑢 = 1 证明： 𝑐 = −𝑏 ∗ , 𝑑 = 𝑎 ∗ , |𝑎| 2 + |𝑏| 2 = 1

对于一个特殊酉矩阵 $u$，我们有 $u^\dagger u = \mathbb{I}_2$，即：

$$
\begin{pmatrix}
a^* & c^* \\
b^* & d^*
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
$$

展开上式，我们得到：

$$
\begin{aligned}
|a|^2 + |c|^2 &= 1 \\
ab^* + cd^* &= 0 \\
a^*b + c^*d &= 0 \\
|b|^2 + |d|^2 &= 1
\end{aligned}
$$

我们可以把 $c$ 和 $d$ 表示为 $c = -b^*$ 和 $d = a^*$，然后验证 $det(u) = 1$：

$$
\begin{aligned}
det(u) &= ad - bc \\
&= ad - (-b^*c) \\
&= ad + b^*(b^*)^* \\
&= ad + |b|^2 \\
&= |a|^2 + |b|^2 \\
&= 1
\end{aligned}
$$

因此，如果 $u$ 是一个特殊酉矩阵，那么 $c = -b^*$，$d = a^*$，$|a|^2 + |b|^2 = 1$。这就完成了证明。