平均绝对误差、均方根误差、绝对误差和相对误差

平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）是预测值与真实值之间绝对差值的平均值。它衡量了预测值与真实值之间的平均偏差，不考虑方向。

均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）是预测值与真实值之间差值的平方和的平均值的开方。它是衡量预测值和真实值之间的平均偏差，并且对较大的误差值给予更高的惩罚。

绝对误差（Absolute Error）是预测值与真实值之间的差的绝对值。它表示预测值与真实值之间的偏差大小，不考虑方向。

相对误差（Relative Error）是绝对误差与真实值之比。它衡量了预测值相对于真实值的偏差大小，可以用来评估预测结果的相对准确性。

相关问题

均方误差 均方根误差及平均绝对误差思维导图

* **误差衡量指标**
* **均方误差 (MSE)**
* **定义**
* 统计学中常用评估模型预测精度
* 预测值与真实值差的平方的平均
* **公式**
* \( MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2 \)
* **优点**
* 对异常值敏感
* 反映误差的总体大小

* **均方根误差 (RMSE)**
* **含义**
* MSE 的平方根，简化单位
* **公式**
* \( RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2} \)
* **解释性**
* 易于理解，直接度量误差范围

* **平均绝对误差 (MAE)**
* **定义**
* 单位偏差的绝对值平均
* **公式**
* \( MAE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}|y_i - \hat{y}_i| \)
* **特点**
* 不受异常值影响，对极端误差更稳健

* **对比**
* MSE 适合连续型数据，关注细节误差
* RMSE 是其简化形式，直观易读
* MAE 更能抵抗离群值，适合不均匀分布的数据

均方根误差和平均绝对误差的区别

### RMSE（均方根误差）与MAE（平均绝对误差）的区别

#### 定义上的不同
RMSE 是通过计算预测值和真实值之间差异的平方再求其算术平均数，最后取平方根得到的结果。这种方式使得较大偏差的影响被放大，因为大错误会被二次幂增强[^1]。

相比之下，MAE 表达的是观测数据与其对应的真实值间绝对差别的平均大小；即散点图里各点到 \(Y=X\) 线的距离总和除以样本数量。这种定义方式让 MAE 显得更加直观易懂，并且每个单独的数据点对总体误差测量所作贡献仅取决于该点偏离直线的实际距离而非其平方形式。

#### 对异常值敏感性的比较
由于 RMSE 中包含了对残差做平方运算的过程，这意味着当存在极端值时，这些离群点会对最终结果造成更显著影响——即使只有一个非常大的误差点也会极大地提升整体 RMSE 数值。而 MAE 则相对稳健得多，在面对少量极大或极小数值的情况下不会轻易受到影响变化趋势明显。

#### 应用场景的选择依据
如果希望构建一个对于任何规模下的误差都非常重视并力求最小化的模型，则应该优先考虑采用 RMSE 作为性能衡量标准之一。这是因为 RMSE 能够更好地反映出那些严重偏离预期的情况所带来的负面影响，从而促使优化算法尽可能减少此类事件的发生概率[^2]。

然而，在某些情况下可能并不需要如此严格地对待每一个可能出现的大范围波动，此时选用 MAE 可能会更为合适。比如处理含有较多噪声干扰或是本身具有高度不确定性质的任务时，利用 MAE 来评估模型表现可以提供一个较为平滑稳定的视角，有助于忽略掉部分偶然因素造成的短期剧烈变动[^3]。

import numpy as np

def calculate_mae(y_true, y_pred):
    mae = np.mean(np.abs(y_true - y_pred))
    return mae

def calculate_rmse(y_true, y_pred):
    rmse = np.sqrt(np.mean((y_true - y_pred)**2))
    return rmse