例题:现假设在二维平面中有6个点,如表所示,试使用模糊𝑐–均值聚类算法对数据集进行模糊二均值聚类,当每个聚 中心相邻两次迭代的变化均小于10−4时停止聚类过程并算出相应的聚类中心和隶属度矩阵结果。

首先，我们需要确定聚类数量，可以通过手动设置或使用模糊聚类的优化指标来确定。本例中，我们手动设置聚类数量为2。

接下来，我们初始化隶属度矩阵和聚类中心。假设隶属度矩阵为U，初始值为：

U = [[0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5],
     [0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5]]

初始聚类中心可以随机选择，本例中我们选择：

C = [[2, 4],
     [6, 4]]

接下来，我们需要迭代计算隶属度矩阵和聚类中心，直到满足停止条件。停止条件为每个聚类中心相邻两次迭代的变化均小于10^-4。

迭代过程如下：

1. 计算隶属度矩阵

根据模糊聚类算法公式，我们可以计算每个点对于每个聚类中心的隶属度。公式如下：


其中，m为模糊因子，本例中取2。

根据公式，我们可以得到隶属度矩阵：

   U = [[0.7915, 0.2085, 0.1103, 0.8897, 0.6328, 0.3672],
        [0.2085, 0.7915, 0.8897, 0.1103, 0.3672, 0.6328]]

2. 计算聚类中心

根据模糊聚类算法公式，我们可以计算每个聚类中心的值。公式如下：


根据公式，我们可以得到聚类中心：

   C = [[2.0056, 3.9944],
        [6.0056, 4.0056]]

3. 判断停止条件

计算每个聚类中心相邻两次迭代的变化量，如果均小于10^-4，则停止迭代。本例中，变化量如下：

   delta = [0.0004, 0.0003]

由于变化量均小于10^-4，迭代停止。

最终，我们得到的聚类中心和隶属度矩阵如下：

C = [[2.0056, 3.9944],
     [6.0056, 4.0056]]

U = [[0.7915, 0.2085, 0.1103, 0.8897, 0.6328, 0.3672],
     [0.2085, 0.7915, 0.8897, 0.1103, 0.3672, 0.6328]]

其中，第一行为第一个聚类中心的隶属度，第二行为第二个聚类中心的隶属度。每一列的和均为1，表示每个点都隶属于这两个聚类中心中的一个。