给定一个由 0 和 1 组成的矩阵 mat ，请输出一个大小相同的矩阵，其中每一个格子是 mat 中对应位置元素到最近的 1 的距离。 两个相邻元素间的距离为 1 。

这个问题可以通过广度优先搜索（BFS）算法来解决。首先，我们需要找出矩阵中所有值为1的元素的位置，然后从这些位置开始，对矩阵中的每个元素进行广度优先搜索。在搜索过程中，我们需要记录每个元素到最近的1的距离。以下是一个可能的算法步骤：

1. 遍历矩阵，找出所有值为1的元素的位置。
2. 将所有值为1的元素的位置加入到一个队列中。
3. 初始化一个同样大小的矩阵，用于记录每个元素到最近1的距离，初始值设为一个足够大的数（如矩阵大小的最大值）。
4. 从队列中取出位置，将其周围的元素（如果是0，则将其值更新为当前位置的距离加1）加入队列，并更新这些元素的距离。
5. 重复步骤4，直到队列为空。
6. 队列为空时，我们得到的矩阵就是每个元素到最近1的距离矩阵。

下面是这个算法的伪代码实现：

def update_matrix(mat):
    rows, cols = len(mat), len(mat)
    dist = [[float('inf')] * cols for _ in range(rows)]
    queue = []

    # 初始化队列和距离矩阵
    for r in range(rows):
        for c in range(cols):
            if mat[r][c] == 1:
                queue.append((r, c))
                dist[r][c] = 0
    
    # 四个方向的移动：上、下、左、右
    directions = [(1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)]
    
    # 广度优先搜索
    while queue:
        r, c = queue.pop(0)
        for dr, dc in directions:
            nr, nc = r + dr, c + dc
            # 检查新位置是否在矩阵内，并且是否可以更新距离
            if 0 <= nr < rows and 0 <= nc < cols and dist[nr][nc] > dist[r][c] + 1:
                dist[nr][nc] = dist[r][c] + 1
                queue.append((nr, nc))
    
    return dist

# 示例
mat = [
    [0, 0, 0],
    [0, 1, 0],
    [0, 0, 0]
]
print(update_matrix(mat))

这段代码会返回一个新的矩阵，其中每个元素表示原矩阵对应位置到最近的1的距离。