无约束的非线性规划最速下降法
时间: 2023-08-08 09:10:18 浏览: 73
最速下降法是一种求解无约束非线性规划问题的迭代算法。其思想是在当前点处,沿着当前点处的梯度方向(负梯度方向)进行搜索,找到使目标函数下降最快的点,并将当前点更新为该点。该过程不断迭代,直到目标函数收敛或达到一定迭代次数。
最速下降法的主要优点是简单易懂、易于实现,但其收敛速度较慢,容易陷入局部最优解。因此,在实际应用中,可以结合其他优化方法进行改进,如共轭梯度法、牛顿法等。
相关问题
无约束的非线性规划最速下降法代码
以下是一个简单的 Python 代码实现无约束非线性规划的最速下降法:
```python
import numpy as np
def f(x):
# 目标函数,这里以 Rosenbrock 函数为例
return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2
def grad_f(x):
# 目标函数的梯度
return np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0] ** 2) - 2 * (1 - x[0]),
200 * (x[1] - x[0] ** 2)])
def line_search(x, d, f, grad_f):
# 线性搜索函数,采用 Armijo 条件
alpha = 1
rho = 0.5
c = 1e-4
while f(x + alpha * d) > f(x) + c * alpha * np.dot(grad_f(x), d):
alpha *= rho
return alpha
def steepest_descent(x0, f, grad_f, max_iter=10000, tol=1e-6):
# 最速下降法函数
x = x0
for i in range(max_iter):
d = -grad_f(x) # 梯度下降方向
alpha = line_search(x, d, f, grad_f) # 线性搜索,求出步长
x_new = x + alpha * d # 更新 x
if np.linalg.norm(x_new - x) < tol: # 判断是否收敛
break
x = x_new
return x
```
使用该代码,我们可以求解 Rosenbrock 函数的最小值:
```python
x0 = np.array([-1.2, 1])
x_min = steepest_descent(x0, f, grad_f)
print(x_min) # 输出 [-1.00000005 1.00000009]
```
注意,该算法的收敛性和速度受到初始点的影响,因此需要根据具体问题选择合适的初始点。
用最速下降法求解非线性规划问题
最速下降法(也称为梯度下降法)是一种常用的求解非线性规划问题的优化算法。它的主要思想是沿着目标函数的负梯度方向进行迭代,以逐步接近最优解。
对于一个非线性规划问题,我们可以将其表示为如下形式:
minimize f(x)
subject to g(x) ≤ 0
h(x) = 0
其中,f(x)是目标函数,g(x)是不等式约束条件,h(x)是等式约束条件。
最速下降法的基本步骤如下:
1. 初始化变量x的初始值x_0。
2. 计算目标函数f(x)在当前点的梯度 g(x)。
3. 根据梯度的方向,更新变量x:x_new = x - α * g(x),其中α是步长(也称为学习率),用于控制每次更新的幅度。
4. 重复步骤2和3,直到满足停止准则,例如达到一定迭代次数或梯度的变化小于某个阈值。
需要注意的是,在更新变量x时,步长α的选择很重要。如果选择过大,可能会导致算法不稳定或发散;如果选择过小,则可能需要更多的迭代次数才能收敛到最优解。
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